Precalcolo Esempi

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y - 47 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $47$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $9 x^{2} + 54 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{27}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $2916$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$e = 0 - 81$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $81$ da $0$ .

$e = - 81$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x + 3)}^{2} - 81$

Passaggio 1.3

Sostituisci $9 {(x + 3)}^{2} - 81$ a $9 x^{2} + 54 x$ nell'equazione $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ .

$9 {(x + 3)}^{2} - 81 + 16 y^{2} - 32 y = 47$

Passaggio 1.4

Sposta $- 81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 y^{2} - 32 y = 47 + 81$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $16 y^{2} - 32 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 16$

$b = - 32$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 32}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 32$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 32$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 16$ .

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 (16)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 16}{2 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 16}{16}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 16$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $16$ da $- 16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.2.1

Scomponi $16$ da $16$ .

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{16 \cdot - 1}{16 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 32)}^{2}}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $- 32$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{1024}{4 \cdot 16}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $16$ .

$e = 0 - \frac{1024}{64}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $1024$ per $64$ .

$e = 0 - 1 \cdot 16$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$e = 0 - 16$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $16$ da $0$ .

$e = - 16$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ .

$16 {(y - 1)}^{2} - 16$

Passaggio 1.6

Sostituisci $16 {(y - 1)}^{2} - 16$ a $16 y^{2} - 32 y$ nell'equazione $9 x^{2} + 16 y^{2} + 54 x - 32 y = 47$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} - 16 = 47 + 81$

Passaggio 1.7

Sposta $- 16$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $16$ a entrambi i lati.

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 47 + 81 + 16$

Passaggio 1.8

Semplifica $47 + 81 + 16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $47$ e $81$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 128 + 16$

Passaggio 1.8.2

Somma $128$ e $16$ .

$9 {(x + 3)}^{2} + 16 {(y - 1)}^{2} = 144$

Passaggio 1.9

Dividi per $144$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(x + 3)}^{2}}{144} + \frac{16 {(y - 1)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 3)}^{2}}{16} + \frac{{(y - 1)}^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4$

$b = 3$

$k = 1$

$h = - 3$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(- 3, 1)$

Passaggio 5