Precalcolo Esempi

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

Passaggio 1

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{12} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 2$

$b = 2 \sqrt{3}$

$k = 0$

$h = 0$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(0, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'iperbole usando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} + b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 5.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 5.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}$

Passaggio 5.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{4 + 4 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.3.1

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\sqrt{4 + 12}$

Passaggio 5.3.3.2

Somma $4$ e $12$ .

$\sqrt{16}$

Passaggio 5.3.3.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\sqrt{4^{2}}$

Passaggio 5.3.3.4

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$4$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'iperbole sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 2)$

Passaggio 6.3

Si può trovare il secondo vertice di un'iperbole sottraendo $a$ da $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 2)$

Passaggio 6.5

I vertici di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm a)$ . Le iperboli hanno due vertici.

$(0, 2), (0, - 2)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'iperbole sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, 4)$

Passaggio 7.3

Si può trovare il secondo fuoco di un'iperbole sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula e semplifica.

$(0, - 4)$

Passaggio 7.5

I fuochi di un'iperbole seguono la forma di $(h, k \pm \sqrt{a^{2} + b^{2}})$ . Le iperboli hanno due fuochi.

$(0, 4), (0, - 4)$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\frac{\sqrt{{(2)}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + {(2 \sqrt{3})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 2^{2} {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {\sqrt{3}}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3^{1}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.4.5

Calcola l'esponente.

$\frac{\sqrt{4 + 4 \cdot 3}}{2}$

Passaggio 8.3.1.5

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{\sqrt{4 + 12}}{2}$

Passaggio 8.3.1.6

Somma $4$ e $12$ .

$\frac{\sqrt{16}}{2}$

Passaggio 8.3.1.7

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2}}}{2}$

Passaggio 8.3.1.8

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{4}{2}$

Passaggio 8.3.2

Dividi $4$ per $2$ .

$2$

Passaggio 9

Trova l'asse focale.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Trova il valore dell'asse focale dell'iperbole usando la seguente formula.

$\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}$

Passaggio 9.2

Sostituisci i valori di $b$ e $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$ nella formula.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{4}$

Passaggio 9.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.1

Scomponi $2$ da $2 {\sqrt{3}}^{2}$ .

$\frac{2 ({\sqrt{3}}^{2})}{4}$

Passaggio 9.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {\sqrt{3}}^{2}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 9.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{{\sqrt{3}}^{2}}{2}$

Passaggio 9.3.2

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}$

Passaggio 9.3.2.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}$

Passaggio 9.3.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 9.3.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.3.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3^{\frac{2}{2}}}{2}$

Passaggio 9.3.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3^{1}}{2}$

Passaggio 9.3.2.5

Calcola l'esponente.

$\frac{3}{2}$

Passaggio 10

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$

Passaggio 11

Semplifica $\frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Somma $\frac{\sqrt{3}}{3} x$ e $0$ .

$y = \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Passaggio 11.2

$\frac{\sqrt{3}}{3}$ e $x$ .

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$

Passaggio 12

Semplifica $- \frac{\sqrt{3}}{3} x + 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Somma $- \frac{\sqrt{3}}{3} x$ e $0$ .

$y = - \frac{\sqrt{3}}{3} x$

Passaggio 12.2

$x$ e $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 13

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{\sqrt{3} x}{3}, y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 14

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'iperbole.

Centro: $(0, 0)$

Vertici: $(0, 2), (0, - 2)$

Fuochi: $(0, 4), (0, - 4)$

Eccentricità: $2$

Asse focale: $\frac{3}{2}$

Asintoti: $y = \frac{\sqrt{3} x}{3}$ , $y = - \frac{x \sqrt{3}}{3}$

Passaggio 15