Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ è indefinita.

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 2

Poiché $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da sinistra e $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da destra, allora $x = - 3$ è un asintoto verticale.

$x = - 3$

Passaggio 3

Poiché $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $3$ da sinistra e $\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $3$ da destra, allora $x = 3$ è un asintoto verticale.

$x = 3$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 3, 3$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2} - 36$ .

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Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $4$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2}) - 36}$

Passaggio 8.1.1.2

Scomponi $4$ da $- 36$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 4 \cdot - 9}$

Passaggio 8.1.1.3

Scomponi $4$ da $4 x^{2} + 4 \cdot - 9$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2} - 9)}$

Passaggio 8.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x^{2} - 3^{2})}$

Passaggio 8.1.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $4 (x + 3) (x - 3)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{(4 x + 4 \cdot 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x (x - 3) + 4 \cdot (3 (x - 3))}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (3 (x - 3))}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 x \cdot - 3 + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.5

Sposta $x$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x \cdot x + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.7

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 (x \cdot x) + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.8

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{1 + 1} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 4 \cdot (- 3 x) + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $4$ per $- 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 4 \cdot (3 x) + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x + 4 \cdot 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.12

Moltiplica $4$ per $3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x + 12 \cdot - 3}$

Passaggio 8.2.13

Moltiplica $12$ per $- 3$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 12 x + 12 x - 36}$

Passaggio 8.2.14

Somma $- 12 x$ e $12 x$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} + 0 - 36}$

Passaggio 8.2.15

Sottrai $36$ da $0$ .

$\frac{9 x^{3} + 8 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $9 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $4 x^{2}$ .

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $9 x^{3} + 0 - 81 x$

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

$89 x$

Passaggio 8.8

Abbassa il termine successivo dal dividendo originale nel dividendo attuale.

$\frac{9 x}{4}$

$4 x^{2}$

$0 x$

$36$

$9 x^{3}$

$0 x^{2}$

$8 x$

$9$

$9 x^{3}$

$0$

$81 x$

$89 x$

$9$

Passaggio 8.9

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{9 x}{4} + \frac{89 x - 9}{4 x^{2} - 36}$

Passaggio 8.10

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{9 x}{4}$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 3, 3$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{9 x}{4}$

Passaggio 10