Precalcolo Esempi

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y + 62 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Sottrai $62$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $9 y^{2} + 54 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 9$

$b = 54$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{54}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $54$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $54$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 (9)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 27}{2 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{27}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $27$ e $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $9$ da $9$ .

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{9 \cdot 3}{9 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $3$ per $1$ .

$d = 3$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{54^{2}}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $54$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $2916$ per $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$e = 0 - 81$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $81$ da $0$ .

$e = - 81$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81$

Passaggio 1.3

Sostituisci $9 {(y + 3)}^{2} - 81$ a $9 y^{2} + 54 y$ nell'equazione $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - 81 - x^{2} + 2 x = - 62$

Passaggio 1.4

Sposta $- 81$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $81$ a entrambi i lati.

$9 {(y + 3)}^{2} - x^{2} + 2 x = - 62 + 81$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $- x^{2} + 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

usa la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.5.3.2.1.3

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Passaggio 1.5.3.2.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 1.5.4.2.1.3

Dividi $4$ per $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Passaggio 1.5.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Passaggio 1.5.4.2.2

Somma $0$ e $1$ .

$e = 1$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella formula del vertice di $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$- {(x - 1)}^{2} + 1$

Passaggio 1.6

Sostituisci $- {(x - 1)}^{2} + 1$ a $- x^{2} + 2 x$ nell'equazione $9 y^{2} - x^{2} + 2 x + 54 y = - 62$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} + 1 = - 62 + 81$

Passaggio 1.7

Sposta $1$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $1$ a entrambi i lati.

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = - 62 + 81 - 1$

Passaggio 1.8

Semplifica $- 62 + 81 - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $- 62$ e $81$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 19 - 1$

Passaggio 1.8.2

Sottrai $1$ da $19$ .

$9 {(y + 3)}^{2} - {(x - 1)}^{2} = 18$

Passaggio 1.9

Dividi per $18$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{9 {(y + 3)}^{2}}{18} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = \frac{18}{18}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y + 3)}^{2}}{2} - \frac{{(x - 1)}^{2}}{18} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare i vertici e gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = \sqrt{2}$

$b = 3 \sqrt{2}$

$k = - 3$

$h = 1$

Passaggio 4

Il centro di un'iperbole segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci i valori di $h$ e $k$ .

$(1, - 3)$

Passaggio 5