Precalcolo Esempi

$y = 5^{x}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = 5^{y}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $5^{y} = x$ .

$5^{y} = x$

Passaggio 2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (5^{y}) = \ln (x)$

Passaggio 2.3

Espandi $\ln (5^{y})$ spostando $y$ fuori dal logaritmo.

$y \ln (5) = \ln (x)$

Passaggio 2.4

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = \ln (x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $\ln (5)$ ciascun termine in $y \ln (5) = \ln (x)$ .

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y \ln (5)}{\ln (5)} = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = 5^{x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} \cdot 5^{x}$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{\ln (5^{x})}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (5^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4

Elimina il fattore comune di $\ln (5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = \frac{x \ln (5)}{\ln (5)}$

Passaggio 4.2.4.2

Dividi $x$ per $1$ .

$f^{- 1} \cdot 5^{x} = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\frac{\ln (x)}{\ln (5)}}$

Passaggio 4.3.3

Usa la variazione della regola base $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = 5^{\log_{5} (x)}$

Passaggio 4.3.4

L'esponenziazione e il logaritmo sono funzioni inverse.

$f (\frac{\ln (x)}{\ln (5)}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$ è l'inverso di $f (x) = 5^{x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x)}{\ln (5)}$