Precalcolo Esempi

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$ è indefinita.

$x = - \frac{7}{2}$

Passaggio 2

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la retta $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 3

Trova $n$ e $m$ .

$n = 2$

$m = 1$

Passaggio 4

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 5

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 5.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ e la cui somma è $b = - 2$ .

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Passaggio 5.1.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 (x) - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi $- 2$ come $3$ più $- 5$ .

$\frac{3 x^{2} + (3 - 5) x - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x^{2} + 3 x - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{(3 x^{2} + 3 x) - 5 x - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{3 x (x + 1) - 5 (x + 1)}{2 x + 7}$

Passaggio 5.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2

Espandi $(x + 1) (3 x - 5)$ .

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (3 x - 5) + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x - 5)}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.4

Rimuovi le parentesi.

$\frac{x \cdot (3 x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.5

Riordina $x$ e $3$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 5 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.6

Riordina $x$ e $- 5$ .

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.7

Rimuovi le parentesi.

$\frac{3 \cdot (x \cdot x) - 5 \cdot x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.8

Moltiplica $3$ per $x$ .

$\frac{3 x \cdot x - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.10

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 (x \cdot x) - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 x^{1 + 1} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.12

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 1 \cdot (3 x) + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.13

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x + 1 \cdot - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.14

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$\frac{3 x^{2} - 5 x + 3 x - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.2.15

Somma $- 5 x$ e $3 x$ .

$\frac{3 x^{2} - 2 x - 5}{2 x + 7}$

Passaggio 5.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$2 x$

$7$

$3 x^{2}$

$2 x$

$5$

Passaggio 5.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $3 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

					$\frac{3 x}{2}$
	$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$

Passaggio 5.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			+	$3 x^{2}$	+	$\frac{21 x}{2}$

Passaggio 5.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $3 x^{2} + \frac{21 x}{2}$

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$

Passaggio 5.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$

Passaggio 5.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$\frac{3 x}{2}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Passaggio 5.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- \frac{25 x}{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $2 x$ .

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$

Passaggio 5.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$\frac{175}{4}$

Passaggio 5.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- \frac{25 x}{2} - \frac{175}{4}$

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$

Passaggio 5.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$\frac{3 x}{2}$	-	$\frac{25}{4}$
$2 x$	+	$7$		$3 x^{2}$	-	$2 x$	-	$5$
			-	$3 x^{2}$	-	$\frac{21 x}{2}$
					-	$\frac{25 x}{2}$	-	$5$
					+	$\frac{25 x}{2}$	+	$\frac{175}{4}$
							+	$\frac{155}{4}$

Passaggio 5.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\frac{3 x}{2} - \frac{25}{4} + \frac{155}{4 (2 x + 7)}$

Passaggio 5.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Passaggio 6

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - \frac{7}{2}$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = \frac{3 x}{2} - \frac{25}{4}$

Passaggio 7