Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y - 8 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $64$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4 x^{2} - 8 x$ con $4 {(x - 1)}^{2} - 4$ nell'equazione $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$ .

$4 {(x - 1)}^{2} - 4 + y^{2} + 4 y = 8$

Passaggio 1.4

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 1)}^{2} + y^{2} + 4 y = 8 + 4$

Passaggio 1.5

Completa il quadrato per $y^{2} + 4 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = 4$

$c = 0$

Passaggio 1.5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{4}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 1$ .

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{2}{1}$

Passaggio 1.5.3.2.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$d = 2$

Passaggio 1.5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune di $4^{2}$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.1

Scomponi $4$ da $4^{2}$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.1

Scomponi $4$ da $4 \cdot 1$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 (1)}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{4}{1}$

Passaggio 1.5.4.2.1.1.2.4

Dividi $4$ per $1$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.5.4.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.5.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + 2)}^{2} - 4$ .

${(y + 2)}^{2} - 4$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y^{2} + 4 y$ con ${(y + 2)}^{2} - 4$ nell'equazione $4 x^{2} + y^{2} - 8 x + 4 y = 8$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} - 4 = 8 + 4$

Passaggio 1.7

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 8 + 4 + 4$

Passaggio 1.8

Semplifica $8 + 4 + 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Somma $8$ e $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 12 + 4$

Passaggio 1.8.2

Somma $12$ e $4$ .

$4 {(x - 1)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 16$

Passaggio 1.9

Dividi per $16$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(x - 1)}^{2}}{16} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = \frac{16}{16}$

Passaggio 1.10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{2}}{4} + \frac{{(y + 2)}^{2}}{16} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 4$

$b = 2$

$k = - 2$

$h = 1$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(1, - 2)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 - {(2)}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{16 - 1 \cdot 4}$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\sqrt{16 - 4}$

Passaggio 5.3.4

Sottrai $4$ da $16$ .

$\sqrt{12}$

Passaggio 5.3.5

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\sqrt{4 (3)}$

Passaggio 5.3.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 3}$

Passaggio 5.3.6

Estrai i termini dal radicale.

$2 \sqrt{3}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(1, - 2 + 4)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(1, 2)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(1, - 2 - (4))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(1, - 6)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

Passaggio 7.3

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.4

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(1, - 2 - (2 \sqrt{3}))$

Passaggio 7.5

Semplifica.

$(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

Passaggio 7.6

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(4)}^{2} - {(2)}^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 2^{2}}}{4}$

Passaggio 8.3.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{16 - 1 \cdot 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{16 - 4}}{4}$

Passaggio 8.3.1.4

Sottrai $4$ da $16$ .

$\frac{\sqrt{12}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.5.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$\frac{\sqrt{4 (3)}}{4}$

Passaggio 8.3.1.5.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 3}}{4}$

Passaggio 8.3.1.6

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 8.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 \sqrt{3}$ .

$\frac{2 (\sqrt{3})}{4}$

Passaggio 8.3.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(1, - 2)$

${Vertex}_{1}$ : $(1, 2)$

${Vertex}_{2}$ : $(1, - 6)$

${Focus}_{1}$ : $(1, - 2 + 2 \sqrt{3})$

${Focus}_{2}$ : $(1, - 2 - 2 \sqrt{3})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10