Precalcolo Esempi

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ)$

Passaggio 2

Scomponi.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\cos^{4} (θ)$ come ${(\cos^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - \sin^{4} (θ)$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\sin^{4} (θ)$ come ${(\sin^{2} (θ))}^{2}$ .

${(\cos^{2} (θ))}^{2} - {(\sin^{2} (θ))}^{2}$

Passaggio 2.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos^{2} (θ)$ e $b = \sin^{2} (θ)$ .

$(\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Rimetti in ordine i termini.

$(\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Passaggio 2.4.2

Applica l'identità pitagorica.

$1 (\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ))$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ per $1$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Passaggio 2.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \cos (θ)$ e $b = \sin (θ)$ .

$(\cos (θ) + \sin (θ)) (\cos (θ) - \sin (θ))$

Passaggio 3

Applica la proprietà distributiva.

$(\cos (θ) + \sin (θ)) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\cos (θ) \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $\cos (θ) \cos (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (θ)}^{1} \cos (θ) + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 4.1.2.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (θ)}^{1} {\cos (θ)}^{1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 4.1.2.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (θ)}^{1 + 1} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 4.1.2.4

Somma $1$ e $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + (\cos (θ) + \sin (θ)) (- \sin (θ))$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) + \sin (θ) (- \sin (θ))$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\sin (θ) (- \sin (θ))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} \sin (θ))$

Passaggio 4.1.4.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - ({\sin (θ)}^{1} {\sin (θ)}^{1})$

Passaggio 4.1.4.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Passaggio 4.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \sin (θ) \cos (θ) + \cos (θ) (- \sin (θ)) - {\sin (θ)}^{2}$

Passaggio 4.2

Somma $\cos (θ) \sin (θ)$ e $\cos (θ) (- \sin (θ))$ .

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Passaggio 4.2.1

Riordina $\cos (θ)$ e $- 1$ .

${\cos (θ)}^{2} + \cos (θ) \sin (θ) - 1 \cdot \cos (θ) \sin (θ) - {\sin (θ)}^{2}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $\cos (θ) \sin (θ)$ da $\cos (θ) \sin (θ)$ .

${\cos (θ)}^{2} + 0 - {\sin (θ)}^{2}$

Passaggio 4.3

Somma ${\cos (θ)}^{2}$ e $0$ .

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica al contrario.

$1 - \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$

Passaggio 6

Sottrai ${\sin (θ)}^{2}$ da $- {\sin (θ)}^{2}$ .

$1 - 2 \sin^{2} (θ)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\cos^{4} (θ) - \sin^{4} (θ) = 1 - 2 \sin^{2} (θ)$ è un'identità