Precalcolo Esempi

$\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35} \geq 0$

Passaggio 1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$3 x + 5 = 0$

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

Passaggio 2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = - 5$

Passaggio 3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - 5$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 5}{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x = - \frac{5}{3}$

Passaggio 4

Scomponi $x^{2} + 2 x - 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 35$ e la cui somma è $2$ .

$- 5, 7$

Passaggio 4.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

Passaggio 5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 7.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 7) = 0$ vera.

$x = 5, - 7$

Passaggio 9

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = - \frac{5}{3}$

$x = 5, - 7$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

$x = - \frac{5}{3}, 5, - 7$

Passaggio 11

Trova il dominio di $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ .

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Passaggio 11.1

Imposta il denominatore in $\frac{3 x + 5}{x^{2} + 2 x - 35}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x^{2} + 2 x - 35 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Scomponi $x^{2} + 2 x - 35$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 35$ e la cui somma è $2$ .

$- 5, 7$

Passaggio 11.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$(x - 5) (x + 7) = 0$

Passaggio 11.2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

$x + 7 = 0$

Passaggio 11.2.3

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.3.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 11.2.3.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 11.2.4

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.2.4.1

Imposta $x + 7$ uguale a $0$ .

$x + 7 = 0$

Passaggio 11.2.4.2

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 7$

Passaggio 11.2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 5) (x + 7) = 0$ vera.

$x = 5, - 7$

Passaggio 11.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 7) \cup (- 7, 5) \cup (5, \infty)$

Passaggio 12

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 7$

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$

$- \frac{5}{3} < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 10$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $x$ con $- 10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (- 10) + 5}{{(- 10)}^{2} + 2 (- 10) - 35} \geq 0$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{5}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 13.2

Testa un valore sull'intervallo $- 7 < x < - \frac{5}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 7 < x < - \frac{5}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (- 4) + 5}{{(- 4)}^{2} + 2 (- 4) - 35} \geq 0$

Passaggio 13.2.3

Il lato sinistro di $0.\overline{259}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 13.3

Testa un valore sull'intervallo $- \frac{5}{3} < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $- \frac{5}{3} < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 13.3.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (0) + 5}{{(0)}^{2} + 2 (0) - 35} \geq 0$

Passaggio 13.3.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{142857}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 13.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 13.4.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3 (8) + 5}{{(8)}^{2} + 2 (8) - 35} \geq 0$

Passaggio 13.4.3

Il lato sinistro di $0.6\overline{4}$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 13.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ Vero

$- \frac{5}{3} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

$x < - 7$ Falso

$- 7 < x < - \frac{5}{3}$ Vero

$- \frac{5}{3} < x < 5$ Falso

$x > 5$ Vero

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 7 < x \leq - \frac{5}{3}$ o $x > 5$

Passaggio 15

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 7, - \frac{5}{3}] \cup (5, \infty)$

Passaggio 16