Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x - 5 = 0$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'ellissi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$

Passaggio 1.2

Completa il quadrato per $4 x^{2} + 8 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = 8$

$c = 0$

Passaggio 1.2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 (4)}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{4}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4}{4}$

Passaggio 1.2.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = 1$

Passaggio 1.2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{8^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Passaggio 1.2.4.2.1.3

Dividi $64$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.2.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.2.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4$

Passaggio 1.3

Sostituisci $4 x^{2} + 8 x$ con $4 {(x + 1)}^{2} - 4$ nell'equazione $4 x^{2} + y^{2} + 8 x = 5$ .

$4 {(x + 1)}^{2} - 4 + y^{2} = 5$

Passaggio 1.4

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 5 + 4$

Passaggio 1.5

Somma $5$ e $4$ .

$4 {(x + 1)}^{2} + y^{2} = 9$

Passaggio 1.6

Dividi per $9$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(x + 1)}^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{9} = \frac{9}{9}$

Passaggio 1.7

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{2}}{\frac{9}{4}} + \frac{y^{2}}{9} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'ellisse. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare il centro e gli assi minore e maggiore dell'ellissi.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa ellissi a quelli della forma standard. La variabile $a$ rappresenta il raggio dell'asse maggiore dell'ellissi, $b$ rappresenta il raggio dell'asse minore dell'ellissi, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$a = 3$

$b = \frac{3}{2}$

$k = 0$

$h = - 1$

Passaggio 4

Il centro di un'ellissi segue la forma di $(h, k)$ . Sostituisci con i valori di $h$ e $k$ .

$(- 1, 0)$

Passaggio 5

Trova $c$ , la distanza dal centro a un fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Trova la distanza dal centro a un fuoco dell'ellissi utilizzando la seguente formula.

$\sqrt{a^{2} - b^{2}}$

Passaggio 5.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula.

$\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.3.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{9 - \frac{9}{4}}$

Passaggio 5.3.5

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}$

Passaggio 5.3.6

$9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}$

Passaggio 5.3.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}$

Passaggio 5.3.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.8.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}$

Passaggio 5.3.8.2

Sottrai $9$ da $36$ .

$\sqrt{\frac{27}{4}}$

Passaggio 5.3.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{27}{4}}$ come $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.10.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.10.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 5.3.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.11.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 5.3.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Trova i vertici.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Si può trovare il primo vertice di un'ellissi sommando $a$ a $k$ .

$(h, k + a)$

Passaggio 6.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 1, 0 + 3)$

Passaggio 6.3

Semplifica.

$(- 1, 3)$

Passaggio 6.4

The second vertex of an ellipse can be found by subtracting $a$ from $k$ .

$(h, k - a)$

Passaggio 6.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $a$ e $k$ nella formula.

$(- 1, 0 - (3))$

Passaggio 6.6

Semplifica.

$(- 1, - 3)$

Passaggio 6.7

Le ellissi hanno due vertici.

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

Passaggio 7

Trova i fuochi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sommando $c$ a $k$ .

$(h, k + c)$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 1, 0 + \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.3

Semplifica.

$(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.4

Si può trovare il primo fuoco di un'ellissi sottraendo $c$ da $k$ .

$(h, k - c)$

Passaggio 7.5

Sostituisci i valori noti di $h$ , $c$ e $k$ nella formula.

$(- 1, 0 - (\frac{3 \sqrt{3}}{2}))$

Passaggio 7.6

Semplifica.

$(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 7.7

Le ellissi hanno due fuochi.

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 8

Trova l'eccentricità.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'eccentricità usando la seguente formula.

$\frac{\sqrt{a^{2} - b^{2}}}{a}$

Passaggio 8.2

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ all'interno della formula.

$\frac{\sqrt{{(3)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - {(\frac{3}{2})}^{2}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{3^{2}}{2^{2}}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{2^{2}}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{\sqrt{9 - \frac{9}{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.5

Per scrivere $9$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot \frac{4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.6

$9$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4}{4} - \frac{9}{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\sqrt{\frac{9 \cdot 4 - 9}{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.8.1

Moltiplica $9$ per $4$ .

$\frac{\sqrt{\frac{36 - 9}{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.8.2

Sottrai $9$ da $36$ .

$\frac{\sqrt{\frac{27}{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.9

Riscrivi $\sqrt{\frac{27}{4}}$ come $\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{27}}{\sqrt{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.10

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.10.1.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 (3)}}{\sqrt{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.10.1.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.10.2

Estrai i termini dal radicale.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{4}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.11

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1.11.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{\sqrt{2^{2}}}}{3}$

Passaggio 8.3.1.11.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\frac{3 \sqrt{3}}{2}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $3$ da $3 \sqrt{3}$ .

$\frac{3 (\sqrt{3})}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 9

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un'ellissi.

Centro: $(- 1, 0)$

${Vertex}_{1}$ : $(- 1, 3)$

${Vertex}_{2}$ : $(- 1, - 3)$

${Focus}_{1}$ : $(- 1, \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

${Focus}_{2}$ : $(- 1, - \frac{3 \sqrt{3}}{2})$

Eccentricità: $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 10