Precalcolo Esempi

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x \leq 125$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x = 125$

Passaggio 2

Sottrai $125$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} + 5 x^{2} - 25 x - 125 = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} + 5 x^{2}) - 25 x - 125 = 0$

Passaggio 3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x + 5) - 25 (x + 5) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 5$ .

$(x + 5) (x^{2} - 25) = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$(x + 5) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi.

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Passaggio 3.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 5$ .

$(x + 5) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 3.5

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 3.5.1

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 3.5.2

Eleva $x + 5$ alla potenza di $1$ .

$(x + 5) (x + 5) (x - 5) = 0$

Passaggio 3.5.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x + 5)}^{1 + 1} (x - 5) = 0$

Passaggio 3.5.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 5 = 0$

Passaggio 5

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta ${(x + 5)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi ${(x + 5)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Poni $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 6

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 6.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x + 5)}^{2} (x - 5) = 0$ vera.

$x = - 5, 5$

Passaggio 8

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < 5$

$x > 5$

Passaggio 9

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 9.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 9.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

${(- 8)}^{3} + 5 {(- 8)}^{2} - 25 \cdot - 8 \leq 125$

Passaggio 9.1.3

Il lato sinistro di $8$ è minore del lato destro di $125$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 9.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} + 5 {(0)}^{2} - 25 \cdot 0 \leq 125$

Passaggio 9.2.3

Il lato sinistro di $0$ è minore del lato destro di $125$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 9.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 9.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 9.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

${(8)}^{3} + 5 {(8)}^{2} - 25 \cdot 8 \leq 125$

Passaggio 9.3.3

Il lato sinistro di $632$ è maggiore del lato destro di $125$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 9.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 5$ Vero

$x > 5$ Falso

Passaggio 10

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 5$ o $- 5 \leq x \leq 5$

Passaggio 11

Combina gli intervalli.

$x \leq 5$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 5]$

Passaggio 13