Precalcolo Esempi

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y - \frac{1}{2} = 0$

Passaggio 1

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $x^{2} + \frac{3}{4} x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

$\frac{3}{4}$ e $x$ .

$x^{2} + \frac{3 x}{4}$

Passaggio 2.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{3}{4}$

$c = 0$

Passaggio 2.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{3}{4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.4.2.3

Moltiplica $\frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{3}{4}$ per $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{3}{4 \cdot 2}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$d = \frac{3}{8}$

Passaggio 2.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{4}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{3^{2}}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.1.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{4^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.1.1.3

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{9}{16}}{4}$

Passaggio 2.5.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 2.5.2.1.4

Moltiplica $\frac{9}{16} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{9}{16}$ per $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{9}{16 \cdot 4}$

Passaggio 2.5.2.1.4.2

Moltiplica $16$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{9}{64}$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $\frac{9}{64}$ da $0$ .

$e = - \frac{9}{64}$

Passaggio 2.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$

Passaggio 3

Sostituisci $x^{2} + \frac{3}{4} x$ con ${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64}$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} - \frac{9}{64} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$

Passaggio 4

Sposta $- \frac{9}{64}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{9}{64}$ a entrambi i lati.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + y^{2} + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $y^{2} + \frac{5}{3} y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{5}{3}$ e $y$ .

$y^{2} + \frac{5 y}{3}$

Passaggio 5.2

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 1$

$b = \frac{5}{3}$

$c = 0$

Passaggio 5.3

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{\frac{5}{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.2

Elimina il fattore comune di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2 \cdot 1}$

Passaggio 5.4.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.2.3

Moltiplica $\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.3.1

Moltiplica $\frac{5}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{5}{3 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.2.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$d = \frac{5}{6}$

Passaggio 5.5

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(\frac{5}{3})}^{2}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{5}{3}$ .

$e = 0 - \frac{\frac{5^{2}}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.1.1.2

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{3^{2}}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.1.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4 \cdot 1}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$e = 0 - \frac{\frac{25}{9}}{4}$

Passaggio 5.5.2.1.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e = 0 - (\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4})$

Passaggio 5.5.2.1.4

Moltiplica $\frac{25}{9} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.4.1

Moltiplica $\frac{25}{9}$ per $\frac{1}{4}$ .

$e = 0 - \frac{25}{9 \cdot 4}$

Passaggio 5.5.2.1.4.2

Moltiplica $9$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{25}{36}$

Passaggio 5.5.2.2

Sottrai $\frac{25}{36}$ da $0$ .

$e = - \frac{25}{36}$

Passaggio 5.6

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ .

${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$

Passaggio 6

Sostituisci $y^{2} + \frac{5}{3} y$ con ${(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36}$ nell'equazione $x^{2} + y^{2} + \frac{3}{4} x + \frac{5}{3} y = \frac{1}{2}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{36} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64}$

Passaggio 7

Sposta $- \frac{25}{36}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{25}{36}$ a entrambi i lati.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Passaggio 8

Semplifica $\frac{1}{2} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{288}{288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{288}{288}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} + \frac{25}{36}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $\frac{9}{64}$ per $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9}{64} \cdot \frac{9}{9} + \frac{25}{36}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\frac{9}{64}$ per $\frac{9}{9}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{25}{36}$ per $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25}{36} \cdot \frac{16}{16}$

Passaggio 8.1.6

Moltiplica $\frac{25}{36}$ per $\frac{16}{16}$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{2 \cdot 288} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Passaggio 8.1.7

Moltiplica $2$ per $288$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{64 \cdot 9} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Passaggio 8.1.8

Riordina i fattori di $64 \cdot 9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{9 \cdot 64} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Passaggio 8.1.9

Moltiplica $9$ per $64$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{36 \cdot 16}$

Passaggio 8.1.10

Riordina i fattori di $36 \cdot 16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{16 \cdot 36}$

Passaggio 8.1.11

Moltiplica $16$ per $36$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288}{576} + \frac{9 \cdot 9}{576} + \frac{25 \cdot 16}{576}$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 9 \cdot 9 + 25 \cdot 16}{576}$

Passaggio 8.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $9$ per $9$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 25 \cdot 16}{576}$

Passaggio 8.3.2

Moltiplica $25$ per $16$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{288 + 81 + 400}{576}$

Passaggio 8.4

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Somma $288$ e $81$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{369 + 400}{576}$

Passaggio 8.4.2

Somma $369$ e $400$ .

${(x + \frac{3}{8})}^{2} + {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{769}{576}$

Passaggio 9

Questa è la forma di un cerchio. Usa la forma per determinare il centro e il raggio del cerchio.

${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = r^{2}$

Passaggio 10

Abbina i valori di questo cerchio a quelli della forma standard. La variabile $r$ rappresenta il raggio del cerchio, $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine e $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine.

$r = \frac{\sqrt{769}}{24}$

$h = - \frac{3}{8}$

$k = - \frac{5}{6}$

Passaggio 11

Il centro di un cerchio si trova a $(h, k)$ .

Centro: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Passaggio 12

Questi valori indicano i valori importanti per la rappresentazione grafica e l'analisi di un cerchio.

Centro: $(- \frac{3}{8}, - \frac{5}{6})$

Raggio: $\frac{\sqrt{769}}{24}$

Passaggio 13