Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{225} - \frac{y^{2}}{64} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{225}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{225}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $- 64$ .

$- 64 (- \frac{y^{2}}{64}) = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica $- 64 (- \frac{y^{2}}{64})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{y^{2}}{64}$ nel numeratore.

$- 64 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.1.1.1.2

Scomponi $64$ da $- 64$ .

$64 (- 1) \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.1.1.1.3

Elimina il fattore comune.

$64 \cdot - 1 \frac{- y^{2}}{64} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.1.1.1.4

Riscrivi l'espressione.

$- - y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.1.1.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.2.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.1.1.2.2

Moltiplica $y^{2}$ per $1$ .

$y^{2} = - 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $- 64 (1 - \frac{x^{2}}{225})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = - 64 \cdot 1 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.2.1.2

Moltiplica $- 64$ per $1$ .

$y^{2} = - 64 - 64 (- \frac{x^{2}}{225})$

Passaggio 3.2.1.3

Moltiplica $- 64 (- \frac{x^{2}}{225})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 64$ .

$y^{2} = - 64 + 64 \frac{x^{2}}{225}$

Passaggio 3.2.1.3.2

$64$ e $\frac{x^{2}}{225}$ .

$y^{2} = - 64 + \frac{64 x^{2}}{225}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{- 64 + \frac{64 x^{2}}{225}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi $64 x^{2}$ come ${(8 x)}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{225}}$

Passaggio 5.2

Riscrivi $225$ come $15^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + \frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{{(8 x)}^{2}}{15^{2}}$ come ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 64 + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- 8^{2} + {(\frac{8 x}{15})}^{2}}$

Passaggio 5.4.2

Riordina $- 8^{2}$ e ${(\frac{8 x}{15})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8 x}{15})}^{2} - 8^{2}}$

Passaggio 5.5

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{8 x}{15}$ e $b = 8$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Passaggio 5.6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Scomponi $8$ da $\frac{8 x}{15} + 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Scomponi $8$ da $\frac{8 x}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Passaggio 5.6.1.2

Scomponi $8$ da $8$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \frac{x}{15} + 8 (1)) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Passaggio 5.6.1.3

Scomponi $8$ da $8 \frac{x}{15} + 8 (1)$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{8 x}{15} - 8)}$

Passaggio 5.6.2

Scomponi $8$ da $\frac{8 x}{15} - 8$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Scomponi $8$ da $\frac{8 x}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} - 8)}$

Passaggio 5.6.2.2

Scomponi $8$ da $- 8$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 \frac{x}{15} + 8 (- 1))}$

Passaggio 5.6.2.3

Scomponi $8$ da $8 \frac{x}{15} + 8 (- 1)$ .

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) (8 (\frac{x}{15} - 1))}$

$y = \pm \sqrt{8 (\frac{x}{15} + 1) \cdot 8 (\frac{x}{15} - 1)}$

Passaggio 5.6.3

Moltiplica $8$ per $8$ .

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + 1) (\frac{x}{15} - 1)}$

Passaggio 5.7

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{64 (\frac{x}{15} + \frac{15}{15}) (\frac{x}{15} - 1)}$

Passaggio 5.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1)}$

Passaggio 5.9

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} - 1 \cdot \frac{15}{15})}$

Passaggio 5.10

$- 1$ e $\frac{15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} (\frac{x}{15} + \frac{- 1 \cdot 15}{15})}$

Passaggio 5.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 1 \cdot 15}{15}}$

Passaggio 5.12

Moltiplica $- 1$ per $15$ .

$y = \pm \sqrt{64 \frac{x + 15}{15} \frac{x - 15}{15}}$

Passaggio 5.13

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.13.1

$64$ e $\frac{x + 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15)}{15} \cdot \frac{x - 15}{15}}$

Passaggio 5.13.2

Moltiplica $\frac{64 (x + 15)}{15}$ per $\frac{x - 15}{15}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{15 \cdot 15}}$

Passaggio 5.13.3

Moltiplica $15$ per $15$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}}$

Passaggio 5.14

Riscrivi $\frac{64 (x + 15) (x - 15)}{225}$ come ${(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))$ .

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Passaggio 5.14.1

Scomponi la potenza perfetta $8^{2}$ su $64 (x + 15) (x - 15)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{225}}$

Passaggio 5.14.2

Scomponi la potenza perfetta $15^{2}$ su $225$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.14.3

Riordina la frazione $\frac{8^{2} ((x + 15) (x - 15))}{15^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{8}{15})}^{2} ((x + 15) (x - 15))}$

Passaggio 5.15

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{8}{15} \sqrt{(x + 15) (x - 15)}$

Passaggio 5.16

$\frac{8}{15}$ e $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ .

$y = \pm \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

$y = - \frac{8 \sqrt{(x + 15) (x - 15)}}{15}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(x + 15) (x - 15)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(x + 15) (x - 15) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $x + 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.2.1

Imposta $x + 15$ uguale a $0$ .

$x + 15 = 0$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $15$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 15$

Passaggio 8.3

Imposta $x - 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Imposta $x - 15$ uguale a $0$ .

$x - 15 = 0$

Passaggio 8.3.2

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 15$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 15) (x - 15) \geq 0$ vera.

$x = - 15, 15$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 15$

$- 15 < x < 15$

$x > 15$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 15$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 15$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 18$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 18$ nella diseguaglianza originale.

$((- 18) + 15) ((- 18) - 15) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $99$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 15 < x < 15$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 15 < x < 15$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$((0) + 15) ((0) - 15) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $- 225$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 15$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 15$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 18$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $18$ nella diseguaglianza originale.

$((18) + 15) ((18) - 15) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $99$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 15$ Vero

$- 15 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Vero

$x < - 15$ Vero

$- 15 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Vero

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x \leq - 15$ o $x \geq 15$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, - 15] \cup [15, \infty)$

Notazione intensiva:

${x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$(- \infty, \infty)$

Notazione intensiva:

${y | y \in ℝ}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $(- \infty, - 15] \cup [15, \infty), {x | x \leq - 15, x \geq 15}$

Intervallo: $(- \infty, \infty), {y | y \in ℝ}$

Passaggio 12