Precalcolo Esempi

$x^{3} - 3 x^{2} - x > - 3$

Passaggio 1

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{3} - 3 x^{2} - x = - 3$

Passaggio 2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - 3 x^{2} - x + 3 = 0$

Passaggio 3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 3.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - x + 3 = 0$

Passaggio 3.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (x - 3) - (x - 3) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1) = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi.

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Passaggio 3.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$(x - 3) ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Passaggio 3.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 7

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = 3, - 1, 1$

Passaggio 9

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 10.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

${(- 4)}^{3} - 3 {(- 4)}^{2} - (- 4) > - 3$

Passaggio 10.1.3

Il lato sinistro di $- 108$ non è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 10.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

${(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} - (0) > - 3$

Passaggio 10.2.3

Il lato sinistro di $0$ è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 10.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

${(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} - (2) > - 3$

Passaggio 10.3.3

Il lato sinistro di $- 6$ non è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 10.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 10.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 10.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

${(6)}^{3} - 3 {(6)}^{2} - (6) > - 3$

Passaggio 10.4.3

Il lato sinistro di $102$ è maggiore del lato destro di $- 3$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 10.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Vero

$1 < x < 3$ Falso

$x > 3$ Vero

Passaggio 11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 1 < x < 1$ o $x > 3$

Passaggio 12

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- 1, 1) \cup (3, \infty)$

Passaggio 13