Precalcolo Esempi

$\frac{3}{x - 1} > \frac{4}{x + 1}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{4}{x + 1}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{3}{x - 1} - \frac{4}{x + 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{3}{x - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} > 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{4}{x + 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3}{x - 1} \cdot \frac{x + 1}{x + 1} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 1) (x + 1)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{3}{x - 1}$ per $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4}{x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} > 0$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{4}{x + 1}$ per $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{3 (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{3 (x + 1) - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 \cdot 1 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{3 x + 3 - 4 x - 4 \cdot - 1}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.5.4

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$\frac{3 x + 3 - 4 x + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.5.5

Sottrai $4 x$ da $3 x$ .

$\frac{- x + 3 + 4}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.5.6

Somma $3$ e $4$ .

$\frac{- x + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.6

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.7

Riscrivi $7$ come $- 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.8

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{- (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.9

Riscrivi $- (x - 7)$ come $- 1 (x - 7)$ .

$\frac{- 1 (x - 7)}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 2.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)} > 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 7 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 4

Somma $7$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 7$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 6

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 7

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 7$

$x = - 1$

$x = 1$

Passaggio 8

Consolida le soluzioni.

$x = 7, - 1, 1$

Passaggio 9

Trova il dominio di $- \frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ .

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Passaggio 9.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 7}{(x + 1) (x - 1)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(x + 1) (x - 1) = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.2.1

Imposta $x + 1$ uguale a $0$ .

$x + 1 = 0$

Passaggio 9.2.2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 9.2.3

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.2.3.1

Imposta $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 9.2.3.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 9.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 1) (x - 1) = 0$ vera.

$x = - 1, 1$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 7$

$x > 7$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 4$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $- 4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3}{(- 4) - 1} > \frac{4}{(- 4) + 1}$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $- 0.6$ è maggiore del lato destro di $- 1.\overline{3}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 1 < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3}{(0) - 1} > \frac{4}{(0) + 1}$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 3$ non è maggiore del lato destro di $4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $1 < x < 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3}{(4) - 1} > \frac{4}{(4) + 1}$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $1$ è maggiore del lato destro di $0.8$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 11.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 7$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 7$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 10$

Passaggio 11.4.2

Sostituisci $x$ con $10$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{3}{(10) - 1} > \frac{4}{(10) + 1}$

Passaggio 11.4.3

Il lato sinistro di $0.\overline{3}$ non è maggiore del lato destro di $0.\overline{36}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 11.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

$x < - 1$ Vero

$- 1 < x < 1$ Falso

$1 < x < 7$ Vero

$x > 7$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 1$ o $1 < x < 7$

Passaggio 13

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 1) \cup (1, 7)$

Passaggio 14