Precalcolo Esempi

$\frac{{(x - 2)}^{2}}{4} + \frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{{(y - 3)}^{2}}{1} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Passaggio 2

Dividi ${(y - 3)}^{2}$ per $1$ .

${(y - 3)}^{2} = 1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Passaggio 3

Semplifica $1 - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$ .

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Passaggio 3.1

Riduci in una frazione.

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Passaggio 3.1.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4}{4} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.1.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

${(y - 3)}^{2} = \frac{4 - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{2^{2} - {(x - 2)}^{2}}{4}$

Passaggio 3.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 2$ e $b = x - 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(2 + x - 2) (2 - (x - 2))}{4}$

Passaggio 3.2.3

Semplifica.

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Passaggio 3.2.3.1

Sottrai $2$ da $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{(x + 0) (2 - (x - 2))}{4}$

Passaggio 3.2.3.2

Somma $x$ e $0$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - (x - 2))}{4}$

Passaggio 3.2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x - - 2)}{4}$

Passaggio 3.2.3.4

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (2 - x + 2)}{4}$

Passaggio 3.2.3.5

Somma $2$ e $2$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- x + 4)}{4}$

Passaggio 3.3

Semplifica tramite esclusione.

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Passaggio 3.3.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) + 4)}{4}$

Passaggio 3.3.2

Riscrivi $4$ come $- 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x) - 1 (- 4))}{4}$

Passaggio 3.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- (x - 4))}{4}$

Passaggio 3.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.3.4.1

Riscrivi $- (x - 4)$ come $- 1 (x - 4)$ .

${(y - 3)}^{2} = \frac{x (- 1 (x - 4))}{4}$

Passaggio 3.3.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

${(y - 3)}^{2} = - \frac{x (x - 4)}{4}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{x (x - 4)}{4}}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi $- \frac{x (x - 4)}{4}$ come ${(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi la potenza perfetta $1^{2}$ su $x (x - 4)$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{4}}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi la potenza perfetta $2^{2}$ su $4$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- \frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.1.3

Riordina la frazione $\frac{1^{2} (x (x - 4))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{- ({(\frac{1}{2})}^{2} (x (x - 4)))}$

Passaggio 5.1.4

Riordina $- 1$ e ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 x (x - 4)}$

Passaggio 5.1.6

Aggiungi le parentesi.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot - 1 (x (x - 4))}$

Passaggio 5.1.7

Aggiungi le parentesi.

$y - 3 = \pm \sqrt{{(\frac{1^{2}}{2})}^{2} \cdot (- x (x - 4))}$

Passaggio 5.2

Estrai i termini dal radicale.

$y - 3 = \pm \frac{1^{2}}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Passaggio 5.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y - 3 = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x (x - 4)}$

Passaggio 5.4

$\frac{1}{2}$ e $\sqrt{- x (x - 4)}$ .

$y - 3 = \pm \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y - 3 = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Passaggio 6.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Passaggio 6.3

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y - 3 = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2}$

Passaggio 6.4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Passaggio 6.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

$y = - \frac{\sqrt{- x (x - 4)}}{2} + 3$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{- x (x - 4)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- x (x - 4) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$x - 4 = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 8.3

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.3.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 8.3.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- x (x - 4) \geq 0$ vera.

$x = 0, 4$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 0$

$0 < x < 4$

$x > 4$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$2 ((- 2) - 4) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$- 2 ((2) - 4) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $4$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 4$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 4$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$- 6 ((6) - 4) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $- 12$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 4$ Vero

$x > 4$ Falso

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$0 \leq x \leq 4$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[0, 4]$

Notazione intensiva:

${x | 0 \leq x \leq 4}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[2, 4]$

Notazione intensiva:

${y | 2 \leq y \leq 4}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[0, 4], {x | 0 \leq x \leq 4}$

Intervallo: $[2, 4], {y | 2 \leq y \leq 4}$

Passaggio 12