Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ è indefinita.

$x = - 5, x = - 1$

Passaggio 2

Poiché $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da sinistra e $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 5$ da destra, allora $x = - 5$ è un asintoto verticale.

$x = - 5$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da sinistra e $\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 1$ da destra, allora $x = - 1$ è un asintoto verticale.

$x = - 1$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 5, - 1$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $x^{2} + 6 x + 5$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $5$ e la cui somma è $6$ .

$1, 5$

Passaggio 8.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{(x + 1) (x + 5)}$

Passaggio 8.2

Espandi $(x + 1) (x + 5)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x (x + 5) + 1 (x + 5)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 (x + 5)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + x \cdot 5 + 1 x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.4

Riordina $x$ e $5$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x \cdot x + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{1 + 1} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + 1 x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 1 \cdot 5}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $5$ per $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 5 x + x + 5}$

Passaggio 8.2.11

Somma $5 x$ e $x$ .

$\frac{2 x^{3} + 11 x^{2} + 5 x - 1}{x^{2} + 6 x + 5}$

Passaggio 8.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 8.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

Passaggio 8.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

Passaggio 8.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 12 x^{2} + 10 x$

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

Passaggio 8.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

Passaggio 8.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Passaggio 8.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$

Passaggio 8.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$2 x$	-	$1$
$x^{2}$	+	$6 x$	+	$5$		$2 x^{3}$	+	$11 x^{2}$	+	$5 x$	-	$1$
					-	$2 x^{3}$	-	$12 x^{2}$	-	$10 x$
							-	$x^{2}$	-	$5 x$	-	$1$
							-	$x^{2}$	-	$6 x$	-	$5$

Passaggio 8.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- x^{2} - 6 x - 5$

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

Passaggio 8.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$2 x^{3}$

$11 x^{2}$

$5 x$

$1$

$2 x^{3}$

$12 x^{2}$

$10 x$

$x^{2}$

$5 x$

$1$

$x^{2}$

$6 x$

$5$

$x$

$4$

Passaggio 8.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$2 x - 1 + \frac{x + 4}{x^{2} + 6 x + 5}$

Passaggio 8.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 2 x - 1$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 5, - 1$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 2 x - 1$

Passaggio 10