Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ è indefinita.

$x = - 9, x = - 5$

Passaggio 2

Poiché $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 9$ da sinistra e $\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 9$ da destra, allora $x = - 9$ è un asintoto verticale.

$x = - 9$

Passaggio 3

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 4

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 5

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 6

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 6.1

Scomponi $x^{2} + 14 x + 45$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $45$ e la cui somma è $14$ .

$5, 9$

Passaggio 6.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{(x + 5) (x + 9)}$

Passaggio 6.2

Espandi $(x + 5) (x + 9)$ .

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Passaggio 6.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x (x + 9) + 5 (x + 9)}$

Passaggio 6.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 (x + 9)}$

Passaggio 6.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + x \cdot 9 + 5 x + 5 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.4

Riordina $x$ e $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x \cdot x + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{1 + 1} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 5 \cdot 9}$

Passaggio 6.2.9

Moltiplica $5$ per $9$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 9 x + 5 x + 45}$

Passaggio 6.2.10

Somma $9 x$ e $5 x$ .

$\frac{2 x^{3} + 24 x^{2} + 35 x - 175}{x^{2} + 14 x + 45}$

Passaggio 6.3

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Passaggio 6.4

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $2 x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

Passaggio 6.5

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Passaggio 6.6

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $2 x^{3} + 28 x^{2} + 90 x$

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

Passaggio 6.7

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

Passaggio 6.8

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$2 x$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Passaggio 6.9

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 4 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$

Passaggio 6.10

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$2 x$	-	$4$
$x^{2}$	+	$14 x$	+	$45$		$2 x^{3}$	+	$24 x^{2}$	+	$35 x$	-	$175$
					-	$2 x^{3}$	-	$28 x^{2}$	-	$90 x$
							-	$4 x^{2}$	-	$55 x$	-	$175$
							-	$4 x^{2}$	-	$56 x$	-	$180$

Passaggio 6.11

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 4 x^{2} - 56 x - 180$

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

Passaggio 6.12

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$2 x$

$4$

$x^{2}$

$14 x$

$45$

$2 x^{3}$

$24 x^{2}$

$35 x$

$175$

$2 x^{3}$

$28 x^{2}$

$90 x$

$4 x^{2}$

$55 x$

$175$

$4 x^{2}$

$56 x$

$180$

$x$

$5$

Passaggio 6.13

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$2 x - 4 + \frac{x + 5}{x^{2} + 14 x + 45}$

Passaggio 6.14

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = 2 x - 4$

Passaggio 7

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 9$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = 2 x - 4$

Passaggio 8