Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{100} + \frac{y^{2}}{64} = 1$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{x^{2}}{100}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{y^{2}}{64} = 1 - \frac{x^{2}}{100}$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $64$ .

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Passaggio 3

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Elimina il fattore comune di $64$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$64 \frac{y^{2}}{64} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Passaggio 3.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica $64 (1 - \frac{x^{2}}{100})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$y^{2} = 64 \cdot 1 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Passaggio 3.2.1.1.2

Moltiplica $64$ per $1$ .

$y^{2} = 64 + 64 (- \frac{x^{2}}{100})$

Passaggio 3.2.1.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{2}}{100}$ nel numeratore.

$y^{2} = 64 + 64 \frac{- x^{2}}{100}$

Passaggio 3.2.1.1.3.2

Scomponi $4$ da $64$ .

$y^{2} = 64 + 4 (16) \frac{- x^{2}}{100}$

Passaggio 3.2.1.1.3.3

Scomponi $4$ da $100$ .

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Passaggio 3.2.1.1.3.4

Elimina il fattore comune.

$y^{2} = 64 + 4 \cdot 16 \frac{- x^{2}}{4 \cdot 25}$

Passaggio 3.2.1.1.3.5

Riscrivi l'espressione.

$y^{2} = 64 + 16 \frac{- x^{2}}{25}$

Passaggio 3.2.1.1.4

$16$ e $\frac{- x^{2}}{25}$ .

$y^{2} = 64 + \frac{16 (- x^{2})}{25}$

Passaggio 3.2.1.1.5

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$y^{2} = 64 + \frac{- 16 x^{2}}{25}$

Passaggio 3.2.1.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y^{2} = 64 - \frac{16 x^{2}}{25}$

Passaggio 4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Passaggio 5

Semplifica $\pm \sqrt{64 - \frac{16 x^{2}}{25}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scrivi l'espressione usando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - \frac{16 x^{2}}{25}}$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $\frac{16 x^{2}}{25}$ come ${(\frac{4 x}{5})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{8^{2} - {(\frac{4 x}{5})}^{2}}$

Passaggio 5.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 8$ e $b = \frac{4 x}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(8 \cdot \frac{5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.4

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

$8$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{8 \cdot 5}{5} + \frac{4 x}{5}) (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.4.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{8 \cdot 5 + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Scomponi $4$ da $8 \cdot 5 + 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1.1

Scomponi $4$ da $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 x}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.5.1.2

Scomponi $4$ da $4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.5.1.3

Scomponi $4$ da $4 (2 \cdot 5) + 4 (x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (2 \cdot 5 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.6

Per scrivere $8$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (8 \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

$8$ e $\frac{5}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} (\frac{8 \cdot 5}{5} - \frac{4 x}{5})}$

Passaggio 5.7.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{8 \cdot 5 - 4 x}{5}}$

Passaggio 5.8

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1

Scomponi $4$ da $8 \cdot 5 - 4 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.8.1.1

Scomponi $4$ da $8 \cdot 5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) - 4 x}{5}}$

Passaggio 5.8.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 x$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)}{5}}$

Passaggio 5.8.1.3

Scomponi $4$ da $4 (2 \cdot 5) + 4 (- x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (2 \cdot 5 - x)}{5}}$

Passaggio 5.8.2

Moltiplica $2$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x)}{5} \cdot \frac{4 (10 - x)}{5}}$

Passaggio 5.9

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.1

Moltiplica $\frac{4 (10 + x)}{5}$ per $\frac{4 (10 - x)}{5}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{4 (10 + x) (4 (10 - x))}{5 \cdot 5}}$

Passaggio 5.9.2

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.9.2.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{5 \cdot 5}}$

Passaggio 5.9.2.2

Moltiplica $5$ per $5$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}}$

Passaggio 5.10

Riscrivi $\frac{16 (10 + x) (10 - x)}{25}$ come ${(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.10.1

Scomponi la potenza perfetta ${(2^{2})}^{2}$ su $16 (10 + x) (10 - x)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{25}}$

Passaggio 5.10.2

Scomponi la potenza perfetta $5^{2}$ su $25$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}}$

Passaggio 5.10.3

Riordina la frazione $\frac{{(2^{2})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}{5^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{2^{2}}{5})}^{2} ((10 + x) (10 - x))}$

Passaggio 5.11

Estrai i termini dal radicale.

$y = \pm \frac{2^{2}}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Passaggio 5.12

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$y = \pm \frac{4}{5} \sqrt{(10 + x) (10 - x)}$

Passaggio 5.13

$\frac{4}{5}$ e $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ .

$y = \pm \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Passaggio 6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Passaggio 6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Passaggio 6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

$y = - \frac{4 \sqrt{(10 + x) (10 - x)}}{5}$

Passaggio 7

Imposta il radicando in $\sqrt{(10 + x) (10 - x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$(10 + x) (10 - x) \geq 0$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$10 + x = 0$

$10 - x = 0$

Passaggio 8.2

Imposta $10 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Imposta $10 + x$ uguale a $0$ .

$10 + x = 0$

Passaggio 8.2.2

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 10$

Passaggio 8.3

Imposta $10 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Imposta $10 - x$ uguale a $0$ .

$10 - x = 0$

Passaggio 8.3.2

Risolvi $10 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Sottrai $10$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 10$

Passaggio 8.3.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 10$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 10$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 10}{- 1}$

Passaggio 8.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.2.3.1

Dividi $- 10$ per $- 1$ .

$x = 10$

Passaggio 8.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(10 + x) (10 - x) \geq 0$ vera.

$x = - 10, 10$

Passaggio 8.5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 10$

$- 10 < x < 10$

$x > 10$

Passaggio 8.6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 10$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 10$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 12$

Passaggio 8.6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 12$ nella diseguaglianza originale.

$(10 - 12) (10 - (- 12)) \geq 0$

Passaggio 8.6.1.3

Il lato sinistro di $- 44$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 10 < x < 10$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 10 < x < 10$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 8.6.2.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$(10 + 0) (10 - (0)) \geq 0$

Passaggio 8.6.2.3

Il lato sinistro di $100$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 8.6.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 10$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 10$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 8.6.3.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$(10 + 12) (10 - (12)) \geq 0$

Passaggio 8.6.3.3

Il lato sinistro di $- 44$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 8.6.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < 10$ Vero

$x > 10$ Falso

$x < - 10$ Falso

$- 10 < x < 10$ Vero

$x > 10$ Falso

Passaggio 8.7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$- 10 \leq x \leq 10$

Passaggio 9

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$[- 10, 10]$

Notazione intensiva:

${x | - 10 \leq x \leq 10}$

Passaggio 10

L'intervallo è l'insieme di tutti i valori $y$ validi. Usa il grafico per trovare l'intervallo.

Notazione degli intervalli:

$[- 8, 8]$

Notazione intensiva:

${y | - 8 \leq y \leq 8}$

Passaggio 11

Determina il dominio e l'intervallo.

Dominio: $[- 10, 10], {x | - 10 \leq x \leq 10}$

Intervallo: $[- 8, 8], {y | - 8 \leq y \leq 8}$

Passaggio 12