Precalcolo Esempi

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Passaggio 2

Sottrai le frazioni.

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Passaggio 2.1

Per scrivere $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)}$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{1 + \cos (θ)}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} \cdot \frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Passaggio 2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{1 - \cos (θ)}$ per $\frac{1 + \cos (θ)}{1 + \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} \cdot \frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{1 + \cos (θ)}$ per $\frac{1 - \cos (θ)}{1 - \cos (θ)}$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 2.3.3

Riordina i fattori di $(1 - \cos (θ)) (1 + \cos (θ))$ .

$\frac{1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))} - \frac{1 - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 + \cos (θ) - (1 - \cos (θ))}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 \cdot 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 - - \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $- - \cos (θ)$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + 1 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.1.3.2

Moltiplica $\cos (θ)$ per $1$ .

$\frac{1 + \cos (θ) - 1 + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.2

Sottrai $1$ da $1$ .

$\frac{0 + \cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{\cos (θ) + \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 3.4

Somma $\cos (θ)$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{2 \cos (θ)}{(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Espandi $(1 + \cos (θ)) (1 - \cos (θ))$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 (1 - \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 4.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) (1 - \cos (θ))}$

Passaggio 4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 \cdot 1 + 1 (- \cos (θ)) + \cos (θ) \cdot 1 + \cos (θ) (- \cos (θ))}$

Passaggio 4.2

Semplifica e combina i termini simili.

$\frac{2 \cos (θ)}{1 - \cos^{2} (θ)}$

Passaggio 5

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 6

Riscrivi $\frac{2 \cos (θ)}{\sin^{2} (θ)}$ come $2 \cot (θ) \csc (θ)$ .

$2 \cot (θ) \csc (θ)$

Passaggio 7

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$\frac{1}{1 - \cos (θ)} - \frac{1}{1 + \cos (θ)} = 2 \cot (θ) \csc (θ)$ è un'identità