Precalcolo Esempi

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6 = 0$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1, \pm 2$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm 6$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = \frac{3}{2}$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$2 \frac{27}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$2 (\frac{27}{8}) - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $2$ da $8$ .

$2 \frac{27}{2 (4)} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{27}{2 \cdot 4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.6

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.8

Moltiplica $- 3 (\frac{9}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.8.1

$- 3$ e $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.8.2

Moltiplica $- 3$ per $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 6$

Passaggio 4.1.10

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.10.1

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 6$

Passaggio 4.1.10.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 6$

Passaggio 4.1.10.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 6$

Passaggio 4.1.11

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 6$

Passaggio 4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 6 + 6 + \frac{27 - 27}{4}$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $27$ da $27$ .

$- 6 + 6 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Scrivi $- 6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 6}{1} + 6 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica $\frac{- 6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 6 + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.4

Scrivi $6$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica $\frac{6}{1}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{6 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 6 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 6$ per $4$ .

$\frac{- 24 + 6 \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.5.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$\frac{- 24 + 24}{4}$

Passaggio 4.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Somma $- 24$ e $24$ .

$\frac{0}{4}$

Passaggio 4.6.2

Dividi $0$ per $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $\frac{3}{2}$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - \frac{3}{2}$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere usato per trovare le restanti radici.

$\frac{2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 6}{x - \frac{3}{2}}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(2)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$

	$2$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(2)$ per il divisore $(\frac{3}{2})$ e posiziona il risultato di $(3)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$
	$2$	$0$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(0)$ per il divisore $(\frac{3}{2})$ e posiziona il risultato di $(0)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$
	$2$	$0$	$- 4$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(- 4)$ per il divisore $(\frac{3}{2})$ e posiziona il risultato di $(- 6)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(6)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$	$- 4$	$6$
		$3$	$0$	$- 6$
	$2$	$0$	$- 4$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$2 x^{2} + 0 x - 4$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$2 x^{2} - 4$

Passaggio 7

Scomponi $2$ da $2 x^{2} - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Scomponi $2$ da $2 x^{2}$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2}) - 4)$

Passaggio 7.2

Scomponi $2$ da $- 4$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 x^{2} + 2 \cdot - 2)$

Passaggio 7.3

Scomponi $2$ da $2 x^{2} + 2 \cdot - 2$ .

$(x - \frac{3}{2}) (2 (x^{2} - 2))$

Passaggio 8

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(2 x^{3} - 3 x^{2}) - 4 x + 6 = 0$

Passaggio 8.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{2} (2 x - 3) - 2 (2 x - 3) = 0$

Passaggio 8.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 3$ .

$(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 10

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta $2 x - 3$ uguale a $0$ .

$2 x - 3 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 x - 3 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 3$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 3$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Passaggio 11

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Imposta $x^{2} - 2$ uguale a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $x^{2} - 2 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} = 2$

Passaggio 11.2.2

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \sqrt{2}$

Passaggio 11.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 x - 3) (x^{2} - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 13

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{3}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Forma decimale:

$x = 1.5, 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots$

Forma numero misto:

$x = 1 \frac{1}{2}, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 14