Precalcolo Esempi

$x^{3} - 15 x - 4 = 0$

Passaggio 1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

$q = \pm 1$

Passaggio 2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4$

Passaggio 3

Nel polinomio, sostituisci le possibili radici una alla volta per trovare le radici effettive. Semplifica per verificare se il valore è $0$ ; ciò significa che è una radice.

${(4)}^{3} - 15 \cdot 4 - 4$

Passaggio 4

Semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ , quindi $x = 4$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - 15 \cdot 4 - 4$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 15$ per $4$ .

$64 - 60 - 4$

Passaggio 4.2

Semplifica sottraendo i numeri.

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $60$ da $64$ .

$4 - 4$

Passaggio 4.2.2

Sottrai $4$ da $4$ .

$0$

Passaggio 5

Poiché $4$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 4$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può essere utilizzato per trovare le restanti radici.

$\frac{x^{3} - 15 x - 4}{x - 4}$

Passaggio 6

Ora, trova le radici del polinomio rimanente. L'ordine del polinomio è stato ridotto di $1$ .

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Passaggio 6.1

Inserisci i numeri che rappresentano il divisore e il dividendo in una configurazione da divisione.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

Passaggio 6.2

Il primo numero nel dividendo $(1)$ è messo nella prima posizione dell'area risultante (al di sotto della retta orizzontale).

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$

	$1$

Passaggio 6.3

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(0)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$

Passaggio 6.4

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$
	$1$	$4$

Passaggio 6.5

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(4)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(16)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 15)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$

Passaggio 6.6

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$
	$1$	$4$	$1$

Passaggio 6.7

Moltiplica l'ultima voce nel risultato $(1)$ per il divisore $(4)$ e posiziona il risultato di $(4)$ sotto il termine successivo nel dividendo $(- 4)$ .

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$

Passaggio 6.8

Somma il prodotto della moltiplicazione il numero del dividendo e scrivi il risultato nella posizione successiva sulla riga del risultato.

$4$	$1$	$0$	$- 15$	$- 4$
		$4$	$16$	$4$
	$1$	$4$	$1$	$0$

Passaggio 6.9

Tutti i numeri eccetto l'ultimo diventano i coefficienti del polinomio quoziente. L'ultimo valore nella riga del risultato è il resto.

$1 x^{2} + 4 x + 1$

Passaggio 6.10

Semplifica il polinomio quoziente.

$x^{2} + 4 x + 1$

Passaggio 7

Risolvi l'equazione per trovare tutte le radici rimanenti.

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Passaggio 7.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.4

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $+$ di $\pm$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.4.4

Cambia da $\pm$ a $+$ .

$x = - 2 + \sqrt{3}$

Passaggio 7.5

Semplifica l'espressione per risolvere per la porzione $-$ di $\pm$ .

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Passaggio 7.5.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.3

Sottrai $4$ da $16$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7.5.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{3}}{2}$ .

$x = - 2 \pm \sqrt{3}$

Passaggio 7.5.4

Cambia da $\pm$ a $-$ .

$x = - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 7.6

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 8

Il polinomio può essere scritto come un insieme di fattori lineari.

$(x - 4) (x + 2 - \sqrt{3}) (x + 2 + \sqrt{3})$

Passaggio 9

Queste sono le radici (zero) del polinomio $x^{3} - 15 x - 4$ .

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Passaggio 10

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 4, - 2 + \sqrt{3}, - 2 - \sqrt{3}$

Forma decimale:

$x = 4, - 0.26794919 \dots, - 3.73205080 \dots$

Passaggio 11