Precalcolo Esempi

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 10 x + 25}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 10 x + 5^{2}}$

Passaggio 1.1.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$10 x = 2 \cdot x \cdot 5$

Passaggio 1.1.3

Riscrivi il polinomio.

$\frac{x^{2}}{x^{2} + 2 \cdot x \cdot 5 + 5^{2}}$

Passaggio 1.1.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 5$ .

$\frac{x^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è ${(x + 5)}^{2}$ .

$\frac{x^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x^{2} {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Passaggio 1.5.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{(A) {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Passaggio 1.6

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ .

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Passaggio 1.6.1.1

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = \frac{A {(x + 5)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Passaggio 1.6.1.2

Dividi $A$ per $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(B) {(x + 5)}^{2}}{x + 5}$

Passaggio 1.6.2

Elimina il fattore comune di ${(x + 5)}^{2}$ e $x + 5$ .

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Passaggio 1.6.2.1

Scomponi $x + 5$ da $(B) {(x + 5)}^{2}$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 5) (B (x + 5))}{x + 5}$

Passaggio 1.6.2.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.6.2.2.1

Moltiplica per $1$ .

$x^{2} = A + \frac{(x + 5) (B (x + 5))}{(x + 5) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} = A + \frac{(x + 5) (B (x + 5))}{(x + 5) \cdot 1}$

Passaggio 1.6.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} = A + \frac{B (x + 5)}{1}$

Passaggio 1.6.2.2.4

Dividi $B (x + 5)$ per $1$ .

$x^{2} = A + B (x + 5)$

Passaggio 1.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} = A + B x + B \cdot 5$

Passaggio 1.6.4

Sposta $5$ alla sinistra di $B$ .

$x^{2} = A + B x + 5 B$

Passaggio 1.7

Riordina $A$ e $B x$ .

$x^{2} = B x + A + 5 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$0 = A + 5 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$0 = B$

$0 = A + 5 B$

$0 = B$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $B = 0$ .

$B = 0$

$0 = A + 5 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $0$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $0 = A + 5 B$ con $0$ .

$0 = A + 5 (0)$

$B = 0$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $A + 5 (0)$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Moltiplica $5$ per $0$ .

$0 = A + 0$

$B = 0$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $A$ e $0$ .

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

$0 = A$

$B = 0$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'equazione come $A = 0$ .

$A = 0$

$B = 0$

Passaggio 3.4

Risolvi il sistema di equazioni.

$A = 0 B = 0$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 0, B = 0$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{B}{x + 5}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{0}{{(x + 5)}^{2}} + \frac{0}{x + 5}$