Precalcolo Esempi

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = - \sin (θ) + 1$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Somma $\sin (θ)$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 1$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica $\cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta $- 1$ .

$\cos^{2} (θ) - 1 - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.2

Riordina $\cos^{2} (θ)$ e $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- 1 (1) + \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.4

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (θ)$ .

$- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (θ))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.6

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (θ))$ come $- (1 - \cos^{2} (θ))$ .

$- (1 - \cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.7

Applica l'identità pitagorica.

$- \sin^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 2.8

Sottrai $\sin^{2} (θ)$ da $- \sin^{2} (θ)$ .

$- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 3

Scomponi $- \sin (θ)$ da $- 2 \sin^{2} (θ) + \sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi $- \sin (θ)$ da $- 2 \sin^{2} (θ)$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) + \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.2

Riscrivi $\sin (θ)$ come $1 \sin (θ)$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) + 1 \sin (θ) = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $- \sin (θ)$ da $1 \sin (θ)$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ)) - \sin (θ) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $- \sin (θ)$ da $- \sin (θ) (2 \sin (θ)) - \sin (θ) \cdot - 1$ .

$- \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta $\sin (θ)$ uguale a $0$ .

$\sin (θ) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (θ) = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$θ = 0$

Passaggio 5.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - 0$

Passaggio 5.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$θ = π$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Imposta $2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta $2 \sin (θ) - 1$ uguale a $0$ .

$2 \sin (θ) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi $2 \sin (θ) - 1 = 0$ per $θ$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (θ) = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin (θ) = 1$ .

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (θ)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (θ)$ per $1$ .

$\sin (θ) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita $θ$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$θ = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$θ = \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$θ = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$θ = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$θ = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$θ = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$θ = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$θ = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di $\sin (θ)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione $\sin (θ)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$θ = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- \sin (θ) (2 \sin (θ) - 1) = 0$ vera.

$θ = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$