Precalcolo Esempi

$y = \sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cos (4 x)$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x))$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $\sin^{2} (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [\sin^{2} (2 x)]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $\sin (2 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.1.2

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\sin (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.2.2

La derivata di $\sin (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 x$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.3

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 \sin (2 x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $\cos (2 x)$ .

$2 \sin (2 x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.2.7

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$

Passaggio 3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)]$ .

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Passaggio 3.3.1

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{1}{2} \cdot \cos (4 x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\cos (4 x)]$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della catena, che indica che $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 4 x$ .

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Passaggio 3.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{3}$ come $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.3.2.2

La derivata di $\cos (u_{3})$ rispetto a $u_{3}$ è $- \sin (u_{3})$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{3}$ con $4 x$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.3.4

Differenzia usando la regola di potenza, che indica che $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) (4 \cdot 1))$

Passaggio 3.3.5

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- \sin (4 x) \cdot 4)$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{1}{2} (- 4 \sin (4 x))$

Passaggio 3.3.7

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4}{2} \sin (4 x)$

Passaggio 3.3.8

$\frac{- 4}{2}$ e $\sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 4 \sin (4 x)}{2}$

Passaggio 3.3.9

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

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Passaggio 3.3.9.1

Scomponi $2$ da $- 4 \sin (4 x)$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2}$

Passaggio 3.3.9.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.3.9.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 (1)}$

Passaggio 3.3.9.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{2 (- 2 \sin (4 x))}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.9.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) + \frac{- 2 \sin (4 x)}{1}$

Passaggio 3.3.9.2.4

Dividi $- 2 \sin (4 x)$ per $1$ .

$4 \sin (2 x) \cos (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Passaggio 3.4

Riordina i termini.

$4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 4 \cos (2 x) \sin (2 x) - 2 \sin (4 x)$