Precalcolo Esempi

$\frac{- 1}{x - 6} < \frac{2}{9 - x}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{2}{9 - x}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Passaggio 2

Semplifica $\frac{- 1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{1}{x - 6} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Passaggio 2.2

Per scrivere $- \frac{1}{x - 6}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} < 0$

Passaggio 2.3

Per scrivere $- \frac{2}{9 - x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{1}{x - 6} \cdot \frac{9 - x}{9 - x} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Passaggio 2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x - 6) (9 - x)$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{x - 6}$ per $\frac{9 - x}{9 - x}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2}{9 - x} \cdot \frac{x - 6}{x - 6} < 0$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $\frac{2}{9 - x}$ per $\frac{x - 6}{x - 6}$ .

$- \frac{9 - x}{(x - 6) (9 - x)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.4.3

Riordina i fattori di $(x - 6) (9 - x)$ .

$- \frac{9 - x}{(9 - x) (x - 6)} - \frac{2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- (9 - x) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Scomponi $- 1$ da $- (9 - x) - 2 (x - 6)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1.1

Riordina $9$ e $- x$ .

$\frac{- (- x + 9) - 2 (x - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 2 (x - 6)$ .

$\frac{- (- x + 9) - (2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6.1.3

Scomponi $- 1$ da $- (- x + 9) - (2 (x - 6))$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 (x - 6))}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{- (- x + 9 + 2 x + 2 \cdot - 6)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6.3

Moltiplica $2$ per $- 6$ .

$\frac{- (- x + 9 + 2 x - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6.4

Somma $- x$ e $2 x$ .

$\frac{- (x + 9 - 12)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.6.5

Sottrai $12$ da $9$ .

$\frac{- (x - 3)}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)} < 0$

Passaggio 3

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 3 = 0$

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 4

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 5

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 9$

Passaggio 6

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 9$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x = 9$

Passaggio 7

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 8

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 3$

$x = 9$

$x = 6$

Passaggio 9

Consolida le soluzioni.

$x = 3, 9, 6$

Passaggio 10

Trova il dominio di $- \frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Imposta il denominatore in $\frac{x - 3}{(9 - x) (x - 6)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$(9 - x) (x - 6) = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.1

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 - x = 0$

$x - 6 = 0$

Passaggio 10.2.2

Imposta $9 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Imposta $9 - x$ uguale a $0$ .

$9 - x = 0$

Passaggio 10.2.2.2

Risolvi $9 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 9$

Passaggio 10.2.2.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 9$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 9$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 9}{- 1}$

Passaggio 10.2.2.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.2.3.1

Dividi $- 9$ per $- 1$ .

$x = 9$

Passaggio 10.2.3

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.3.1

Imposta $x - 6$ uguale a $0$ .

$x - 6 = 0$

Passaggio 10.2.3.2

Somma $6$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 6$

Passaggio 10.2.4

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 - x) (x - 6) = 0$ vera.

$x = 9, 6$

Passaggio 10.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 6) \cup (6, 9) \cup (9, \infty)$

Passaggio 11

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < 3$

$3 < x < 6$

$6 < x < 9$

$x > 9$

Passaggio 12

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Testa un valore sull'intervallo $x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 12.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 1}{(0) - 6} < \frac{2}{9 - (0)}$

Passaggio 12.1.3

Il lato sinistro di $0.1\overline{6}$ è minore del lato destro di $0.\overline{2}$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.2

Testa un valore sull'intervallo $3 < x < 6$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $3 < x < 6$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 12.2.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 1}{(4) - 6} < \frac{2}{9 - (4)}$

Passaggio 12.2.3

Il lato sinistro di $0.5$ non è minore del lato destro di $0.4$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.3

Testa un valore sull'intervallo $6 < x < 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $6 < x < 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 8$

Passaggio 12.3.2

Sostituisci $x$ con $8$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 1}{(8) - 6} < \frac{2}{9 - (8)}$

Passaggio 12.3.3

Il lato sinistro di $- 0.5$ è minore del lato destro di $2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 12.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 9$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 9$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 12$

Passaggio 12.4.2

Sostituisci $x$ con $12$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{- 1}{(12) - 6} < \frac{2}{9 - (12)}$

Passaggio 12.4.3

Il lato sinistro di $- 0.1\overline{6}$ non è minore del lato destro di $- 0.\overline{6}$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 12.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < 3$ Vero

$3 < x < 6$ Falso

$6 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

$x < 3$ Vero

$3 < x < 6$ Falso

$6 < x < 9$ Vero

$x > 9$ Falso

Passaggio 13

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < 3$ o $6 < x < 9$

Passaggio 14

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, 3) \cup (6, 9)$

Passaggio 15