Precalcolo Esempi

$f (x) = \sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{\frac{x}{2 x - 1} - 1}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} - 1 \cdot \frac{2 x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

$- 1$ e $\frac{2 x - 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{x}{2 x - 1} + \frac{- (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x - (2 x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - (2 x) - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 x - - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{x - 2 x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.3.4

Sottrai $2 x$ da $x$ .

$\frac{- x + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.4

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$\frac{- (x) + 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.4.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x) - 1 (- 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.4.3

Scomponi $- 1$ da $- (x) - 1 (- 1)$ .

$\frac{- (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.4.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.4.1

Riscrivi $- (x - 1)$ come $- 1 (x - 1)$ .

$\frac{- 1 (x - 1)}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.1.4.4.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x - 1}{2 x - 1} \geq 0$

Passaggio 2.2

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$x - 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.3

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 2.4

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.6

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$x = 1$

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.7

Consolida le soluzioni.

$x = 1, \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8

Trova il dominio di $\frac{x}{2 x - 1} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Imposta il denominatore in $\frac{x}{2 x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 2.8.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 2.8.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.8.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}, \infty)$

Passaggio 2.9

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 1$

$x > 1$

Passaggio 2.10

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1

Testa un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < \frac{1}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0$

Passaggio 2.10.1.2

Sostituisci $x$ con $0$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{0}{2 (0) - 1} - 1 \geq 0$

Passaggio 2.10.1.3

Il lato sinistro di $- 1$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.10.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{1}{2} < x < 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{1}{2} < x < 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.75$

Passaggio 2.10.2.2

Sostituisci $x$ con $0.75$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{0.75}{2 (0.75) - 1} - 1 \geq 0$

Passaggio 2.10.2.3

Il lato sinistro di $0.5$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 2.10.3

Testa un valore sull'intervallo $x > 1$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.10.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 1$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 2.10.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{4}{2 (4) - 1} - 1 \geq 0$

Passaggio 2.10.3.3

Il lato sinistro di $- 0.\overline{428571}$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 2.10.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

$x < \frac{1}{2}$ Falso

$\frac{1}{2} < x < 1$ Vero

$x > 1$ Falso

Passaggio 2.11

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{1}{2} < x \leq 1$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{x}{2 x - 1}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 4.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 4.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione degli intervalli:

$(\frac{1}{2}, 1]$

Notazione intensiva:

${x | \frac{1}{2} < x \leq 1}$

Passaggio 6