Precalcolo Esempi

$x^{3} - 19 x - 30$

Passaggio 1

Imposta $x^{3} - 19 x - 30$ uguale a $0$ .

$x^{3} - 19 x - 30 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $x^{3} - 19 x - 30$ usando il teorema delle radici razionali.

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Passaggio 2.1.1.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

$q = \pm 1$

Passaggio 2.1.1.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 30, \pm 2, \pm 15, \pm 3, \pm 10, \pm 5, \pm 6$

Passaggio 2.1.1.3

Sostituisci $- 2$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $- 2$ è una radice del polinomio.

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Passaggio 2.1.1.3.1

Sostituisci $- 2$ nel polinomio.

${(- 2)}^{3} - 19 \cdot - 2 - 30$

Passaggio 2.1.1.3.2

Eleva $- 2$ alla potenza di $3$ .

$- 8 - 19 \cdot - 2 - 30$

Passaggio 2.1.1.3.3

Moltiplica $- 19$ per $- 2$ .

$- 8 + 38 - 30$

Passaggio 2.1.1.3.4

Somma $- 8$ e $38$ .

$30 - 30$

Passaggio 2.1.1.3.5

Sottrai $30$ da $30$ .

$0$

Passaggio 2.1.1.4

Poiché $- 2$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x + 2$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 19 x - 30}{x + 2}$

Passaggio 2.1.1.5

Dividi $x^{3} - 19 x - 30$ per $x + 2$ .

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Passaggio 2.1.1.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$19 x$

$30$

Passaggio 2.1.1.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$

Passaggio 2.1.1.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			+	$x^{3}$	+	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 2 x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Passaggio 2.1.1.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$

Passaggio 2.1.1.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$

Passaggio 2.1.1.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} - 4 x$

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$

Passaggio 2.1.1.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$15 x$

Passaggio 2.1.1.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.1.1.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 15 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.1.1.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							-	$15 x$	-	$30$

Passaggio 2.1.1.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 15 x - 30$

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	+	$30$

Passaggio 2.1.1.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$15$
$x$	+	$2$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$19 x$	-	$30$
			-	$x^{3}$	-	$2 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$19 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$4 x$
							-	$15 x$	-	$30$
							+	$15 x$	+	$30$
										$0$

Passaggio 2.1.1.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} - 2 x - 15$

Passaggio 2.1.1.6

Scrivi $x^{3} - 19 x - 30$ come insieme di fattori.

$(x + 2) (x^{2} - 2 x - 15) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1

Scomponi $x^{2} - 2 x - 15$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.1.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 5, 3$

Passaggio 2.1.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x + 2) ((x - 5) (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x + 2) (x - 5) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 2.3.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 5$ uguale a $0$ .

$x - 5 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 5$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x + 2) (x - 5) (x + 3) = 0$ vera.

$x = - 2, 5, - 3$

Passaggio 3