Precalcolo Esempi

$y = \arctan (x + \frac{π}{2})$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \arctan (y + \frac{π}{2})$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$ .

$\arctan (y + \frac{π}{2}) = x$

Passaggio 2.2

Trova l'arcotangente inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $y$ da dentro l'arcotangente.

$y + \frac{π}{2} = \tan (x)$

Passaggio 2.3

Sottrai $\frac{π}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2}))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = \tan (\arctan (x + \frac{π}{2})) - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.3

Le funzioni tangente e arcotangente sono inverse.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

Combina i termini opposti in $x + \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{π - π}{2}$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + \frac{0}{2}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.1

Dividi $0$ per $2$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x + 0$

Passaggio 4.2.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f^{- 1} (\arctan (x + \frac{π}{2})) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\tan (x) - \frac{π}{2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan ((\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2})$

Passaggio 4.3.3

Combina i termini opposti in $(\tan (x) - \frac{π}{2}) + \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.3.1

Somma $- \frac{π}{2}$ e $\frac{π}{2}$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x) + 0)$

Passaggio 4.3.3.2

Somma $\tan (x)$ e $0$ .

$f (\tan (x) - \frac{π}{2}) = \arctan (\tan (x))$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$ è l'inverso di $f (x) = \arctan (x + \frac{π}{2})$ .

$f^{- 1} (x) = \tan (x) - \frac{π}{2}$