Precalcolo Esempi

$p (x) = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$ .

$- \frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

$x^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3}{2} x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.2.2

$\frac{3}{2}$ e $x$ .

$- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica per $2$ ciascun termine in $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Moltiplica ogni termine in $- \frac{x^{3}}{2} + \frac{3 x}{2} - 1 = 0$ per $2$ .

$- \frac{x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.1.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{x^{3}}{2}$ nel numeratore.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- x^{3}}{2} \cdot 2 + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2.1.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$- x^{3} + \frac{3 x}{2} \cdot 2 - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$- x^{3} + 3 x - 1 \cdot 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0 \cdot 2$

Passaggio 1.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.3.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$- x^{3} + 3 x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3} + 3 x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1.1

Scomponi $- 1$ da $- x^{3}$ .

$- (x^{3}) + 3 x - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.2

Scomponi $- 1$ da $3 x$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.3

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$- (x^{3}) - (- 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3}) - (- 3 x)$ .

$- (x^{3} - 3 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 1.2.4.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (x^{3} - 3 x) - 1 (2)$ .

$- (x^{3} - 3 x + 2) = 0$

Passaggio 1.2.4.2

Scomponi $x^{3} - 3 x + 2$ usando il teorema delle radici razionali.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.1

Se una funzione polinomiale ha coefficienti interi, allora ogni zero razionale avrà la forma $\frac{p}{q}$ , dove $p$ è un fattore della costante e $q$ è un fattore del coefficiente direttivo.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Passaggio 1.2.4.2.2

Trova ciascuna combinazione di $\pm \frac{p}{q}$ . Si tratta delle radici possibili della funzione polinomica.

$\pm 1, \pm 2$

Passaggio 1.2.4.2.3

Sostituisci $1$ e semplifica l'espressione. In questo caso, l'espressione è uguale a $0$ quindi $1$ è una radice del polinomio.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.3.1

Sostituisci $1$ nel polinomio.

$1^{3} - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 1.2.4.2.3.2

Eleva $1$ alla potenza di $3$ .

$1 - 3 \cdot 1 + 2$

Passaggio 1.2.4.2.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$1 - 3 + 2$

Passaggio 1.2.4.2.3.4

Sottrai $3$ da $1$ .

$- 2 + 2$

Passaggio 1.2.4.2.3.5

Somma $- 2$ e $2$ .

$0$

Passaggio 1.2.4.2.4

Poiché $1$ è una radice nota, dividi il polinomio per $x - 1$ per trovare il polinomio quoziente. Questo polinomio può poi essere usato per trovare le radici rimanenti.

$\frac{x^{3} - 3 x + 2}{x - 1}$

Passaggio 1.2.4.2.5

Dividi $x^{3} - 3 x + 2$ per $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.2.5.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$3 x$

$2$

Passaggio 1.2.4.2.5.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$

Passaggio 1.2.4.2.5.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.5.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} - x^{2}$

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.5.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$

Passaggio 1.2.4.2.5.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.2.4.2.5.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$

Passaggio 1.2.4.2.5.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					+	$x^{2}$	-	$x$

Passaggio 1.2.4.2.5.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} - x$

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$

Passaggio 1.2.4.2.5.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$

Passaggio 1.2.4.2.5.11

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x^{2}$	+	$x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.2.4.2.5.12

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.2.4.2.5.13

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Passaggio 1.2.4.2.5.14

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x + 2$

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Passaggio 1.2.4.2.5.15

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x^{2}$	+	$x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$3 x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$x^{2}$	-	$3 x$
					-	$x^{2}$	+	$x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Passaggio 1.2.4.2.5.16

Poiché il resto è $0$ , la risposta finale è il quoziente.

$x^{2} + x - 2$

Passaggio 1.2.4.2.6

Scrivi $x^{3} - 3 x + 2$ come insieme di fattori.

$- ((x - 1) (x^{2} + x - 2)) = 0$

Passaggio 1.2.4.3

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1

Scomponi $x^{2} + x - 2$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $1$ .

$- 1, 2$

Passaggio 1.2.4.3.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((x - 1) ((x - 1) (x + 2))) = 0$

Passaggio 1.2.4.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.2.4.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1

Combina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.4.1.1

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.1.2

Eleva $x - 1$ alla potenza di $1$ .

$- ((x - 1) (x - 1) (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- ({(x - 1)}^{1 + 1} (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$- ({(x - 1)}^{2} (x + 2)) = 0$

Passaggio 1.2.4.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$

Passaggio 1.2.5

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.6

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Imposta ${(x - 1)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Passaggio 1.2.6.2

Risolvi ${(x - 1)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Poni $x - 1$ uguale a $0$ .

$x - 1 = 0$

Passaggio 1.2.6.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 1$

Passaggio 1.2.7

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.7.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 1.2.7.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 1.2.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- {(x - 1)}^{2} (x + 2) = 0$ vera.

$x = 1, - 2$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

Intercetta(e) di x: $(1, 0), (- 2, 0)$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0^{3} + \frac{3}{2} \cdot 0 - 1$

Passaggio 2.2.3

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Passaggio 2.2.4

Semplifica $- \frac{1}{2} \cdot {(0)}^{3} + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$y = - \frac{1}{2} \cdot 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Passaggio 2.2.4.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$y = 0 (\frac{1}{2}) + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Passaggio 2.2.4.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{2}$ .

$y = 0 + \frac{3}{2} \cdot (0) - 1$

Passaggio 2.2.4.1.3

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $0$ .

$y = 0 + 0 - 1$

Passaggio 2.2.4.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$y = 0 - 1$

Passaggio 2.2.4.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$y = - 1$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - 1)$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

Intercetta(e) di x: $(1, 0), (- 2, 0)$

Intercetta(e) di y: $(0, - 1)$

Passaggio 4