Precalcolo Esempi

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$

Passaggio 1

Inizia dal lato sinistro.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Passaggio 2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Riscrivi $\csc (θ)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $\cot (θ)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\csc (θ) - \cot (θ))$

Passaggio 2.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\csc (θ)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \cot (θ))$

Passaggio 2.2.2

Riscrivi $\cot (θ)$ in termini di seno e coseno.

$(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.3

Espandi $(\frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (\frac{1}{\sin (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.4

Combina i termini opposti in $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Riordina i fattori nei termini di $\frac{1}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$ e $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} - \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.4.2

Somma $- \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ e $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + 0 + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.4.3

Somma $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ e $0$ .

$\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.5

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.5.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\sin (θ)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Moltiplica $\frac{1}{\sin (θ)}$ per $\frac{1}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.5.1.2

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.5.1.3

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.5.1.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{\sin (θ)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.5.1.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} (- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)})$

Passaggio 2.5.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3

Moltiplica $- \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Passaggio 2.5.3.1

Moltiplica $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ per $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3.2

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3.3

Eleva $\cos (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3.6

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}$

Passaggio 2.5.3.7

Eleva $\sin (θ)$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}$

Passaggio 2.5.3.8

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{{\sin (θ)}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.5.3.9

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1 - \cos^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.7

Applica l'identità pitagorica.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.8

Elimina il fattore comune di $\sin^{2} (θ)$ .

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Passaggio 2.8.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\sin^{2} (θ)}$

Passaggio 2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$1$

Passaggio 3

Poiché si è dimostrato che i due lati sono equivalenti, l'equazione è un'identità.

$(\csc (θ) + \cot (θ)) (\csc (θ) - \cot (θ)) = 1$ è un'identità