Precalcolo Esempi

$y = \frac{π}{4} + \sin (x)$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{π}{4} + \sin (y)$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi l'equazione come $\frac{π}{4} + \sin (y) = x$ .

$\frac{π}{4} + \sin (y) = x$

Passaggio 2.2

Sottrai $\frac{π}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (y) = x - \frac{π}{4}$

Passaggio 2.3

Trova il valore dell'incognita $y$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$y = \arcsin (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{4})$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{4})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{π}{4} + \sin (x)$ .

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Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

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Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{π}{4} + \sin (x))$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{4} + \sin (x)) = \arcsin ((\frac{π}{4} + \sin (x)) - \frac{π}{4})$

Passaggio 4.2.3

Combina i termini opposti in $(\frac{π}{4} + \sin (x)) - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{π}{4} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{π - π}{4} + \sin (x))$

Passaggio 4.2.3.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{4} + \sin (x)) = \arcsin (\frac{0}{4} + \sin (x))$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Dividi $0$ per $4$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{4} + \sin (x)) = \arcsin (0 + \sin (x))$

Passaggio 4.2.4.2

Somma $0$ e $\sin (x)$ .

$f^{- 1} (\frac{π}{4} + \sin (x)) = \arcsin (\sin (x))$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\arcsin (x - \frac{π}{4}))$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{4})) = \frac{π}{4} + \sin (\arcsin (x - \frac{π}{4}))$

Passaggio 4.3.3

Le funzioni di seno e arcoseno sono inverse.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{4})) = \frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.3.4

Combina i termini opposti in $\frac{π}{4} + x - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\arcsin (x - \frac{π}{4})) = x + \frac{π - π}{4}$

Passaggio 4.3.4.2

Sottrai $π$ da $π$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{4})) = x + \frac{0}{4}$

Passaggio 4.3.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.5.1

Dividi $0$ per $4$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{4})) = x + 0$

Passaggio 4.3.5.2

Somma $x$ e $0$ .

$f (\arcsin (x - \frac{π}{4})) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{4})$ è l'inverso di $f (x) = \frac{π}{4} + \sin (x)$ .

$f^{- 1} (x) = \arcsin (x - \frac{π}{4})$