Precalcolo Esempi

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$

Passaggio 1

Imposta $x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81$ uguale a $0$ .

$x^{4} - 3 x^{3} - 27 x + 81 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(x^{4} - 3 x^{3}) - 27 x + 81 = 0$

Passaggio 2.1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x^{3} (x - 3) - 27 (x - 3) = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{3} - 27) = 0$

Passaggio 2.1.3

Riscrivi $27$ come $3^{3}$ .

$(x - 3) (x^{3} - 3^{3}) = 0$

Passaggio 2.1.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + x \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.5.1

Semplifica.

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Passaggio 2.1.5.1.1

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 3^{2})) = 0$

Passaggio 2.1.5.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$(x - 3) ((x - 3) (x^{2} + 3 x + 9)) = 0$

Passaggio 2.1.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.1.6

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 2.1.6.1

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.1.6.2

Eleva $x - 3$ alla potenza di $1$ .

$(x - 3) (x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.1.6.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

${(x - 3)}^{1 + 1} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.1.6.4

Somma $1$ e $1$ .

${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 2.3

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.3.1

Imposta ${(x - 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3.2

Risolvi ${(x - 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.3.2.1

Poni $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 2.3.2.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2} + 3 x + 9$ uguale a $0$ .

$x^{2} + 3 x + 9 = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} + 3 x + 9 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 2.4.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 2.4.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 3$ e $c = 9$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 9)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3

Semplifica.

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Passaggio 2.4.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.4.2.3.1.1

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.3

Sottrai $36$ da $9$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.4

Riscrivi $- 27$ come $- 1 (27)$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.5

Riscrivi $\sqrt{- 1 (27)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.6

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7

Riscrivi $27$ come $3^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 2.4.2.3.1.7.1

Scomponi $9$ da $27$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.7.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.8

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.1.9

Sposta $3$ alla sinistra di $i$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.4.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 2.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono ${(x - 3)}^{2} (x^{2} + 3 x + 9) = 0$ vera.

$x = 3, - \frac{3 - 3 i \sqrt{3}}{2}, - \frac{3 + 3 i \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 3