Precalcolo Esempi

$y = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Passaggio 1

Trova le intercette di x.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Per trovare l'intercetta di x, sostituisci $y$ con $0$ e risolvi per $x$ .

$0 = - 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})$

Passaggio 1.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Riscrivi l'equazione come $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ .

$- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Passaggio 1.2.2

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Dividi per $- 3$ ciascun termine in $- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$ .

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 3 \cos (4 x + \frac{π}{3})}{- 3} = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ per $1$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = \frac{0}{- 3}$

Passaggio 1.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.3.1

Dividi $0$ per $- 3$ .

$\cos (4 x + \frac{π}{3}) = 0$

Passaggio 1.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$4 x + \frac{π}{3} = \arccos (0)$

Passaggio 1.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.5

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = \frac{π}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.5.2

Per scrivere $\frac{π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.5.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.5.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.4.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.5.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.5.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.5.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 x = \frac{π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x = \frac{π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.5.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.6.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$4 x = \frac{3 \cdot π - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.5.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x = \frac{3 π - 2 π}{6}$

Passaggio 1.2.5.6.3

Sottrai $2 π$ da $3 π$ .

$4 x = \frac{π}{6}$

Passaggio 1.2.6

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{π}{6}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Passaggio 1.2.6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Passaggio 1.2.6.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{4}$

Passaggio 1.2.6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.6.3.2

Moltiplica $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.6.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{6}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.6.3.2.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$x = \frac{π}{24}$

Passaggio 1.2.7

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.8

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1

Semplifica $2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.2.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.1.3.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 1.2.8.1.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$4 x + \frac{π}{3} = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 1.2.8.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.1

Sottrai $\frac{π}{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.8.2.2

Per scrivere $\frac{3 π}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 1.2.8.2.3

Per scrivere $- \frac{π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.8.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.4.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{3}{3}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.8.2.4.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 1.2.8.2.4.3

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.8.2.4.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$4 x = \frac{3 π \cdot 3}{6} - \frac{π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.8.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 x = \frac{3 π \cdot 3 - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.8.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.2.6.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$4 x = \frac{9 π - π \cdot 2}{6}$

Passaggio 1.2.8.2.6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$4 x = \frac{9 π - 2 π}{6}$

Passaggio 1.2.8.2.6.3

Sottrai $2 π$ da $9 π$ .

$4 x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 1.2.8.3

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{7 π}{6}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x = \frac{7 π}{6}$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Passaggio 1.2.8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x}{4} = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Passaggio 1.2.8.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{4}$

Passaggio 1.2.8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$

Passaggio 1.2.8.3.3.2

Moltiplica $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.8.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{7 π}{6}$ per $\frac{1}{4}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 4}$

Passaggio 1.2.8.3.3.2.2

Moltiplica $6$ per $4$ .

$x = \frac{7 π}{24}$

Passaggio 1.2.9

Trova il periodo di $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 1.2.9.2

Sostituisci $b$ con $4$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 4 |}$

Passaggio 1.2.9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$\frac{2 π}{4}$

Passaggio 1.2.9.4

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$\frac{2 (π)}{4}$

Passaggio 1.2.9.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.9.4.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.9.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 1.2.9.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 1.2.10

Il periodo della funzione $\cos (4 x + \frac{π}{3})$ è $\frac{π}{2}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{2}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{24} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.2.11

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{24} + \frac{π n}{4}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 1.3

intercetta(e) di x in forma punto.

intercetta(e) di x: $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2

Trova le intercette di y.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Per trovare l'intercetta di y, sostituisci $x$ con $0$ e risolvi per $y$ .

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 2.2

Risolvi l'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2

Semplifica $- 3 \cos (4 (0) + \frac{π}{3})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Moltiplica $4$ per $0$ .

$y = - 3 \cos (0 + \frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2.2

Somma $0$ e $\frac{π}{3}$ .

$y = - 3 \cos (\frac{π}{3})$

Passaggio 2.2.2.3

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{3})$ è $\frac{1}{2}$ .

$y = - 3 (\frac{1}{2})$

Passaggio 2.2.2.4

$- 3$ e $\frac{1}{2}$ .

$y = \frac{- 3}{2}$

Passaggio 2.2.2.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y = - \frac{3}{2}$

Passaggio 2.3

intercetta(e) di y in forma punto.

Intercetta(e) di y: $(0, - \frac{3}{2})$

Passaggio 3

Elenca le intersezioni.

intercetta(e) di x: $(\frac{π}{24} + \frac{π n}{4}, 0)$ , per qualsiasi intero $n$

Intercetta(e) di y: $(0, - \frac{3}{2})$

Passaggio 4