Precalcolo Esempi

$f (x) = \frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$

Passaggio 1

Trova dove l'espressione $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ è indefinita.

$x = - 3, x = 3$

Passaggio 2

Poiché $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $- 3$ da destra, allora $x = - 3$ è un asintoto verticale.

$x = - 3$

Passaggio 3

Poiché $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ con $x$ $\to$ $3$ da sinistra e $\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ con $x$ $\to$ $3$ da destra, allora $x = 3$ è un asintoto verticale.

$x = 3$

Passaggio 4

Elenca tutti gli asintoti verticali:

$x = - 3, 3$

Passaggio 5

Considera la funzione razionale $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ dove $n$ è il grado del numeratore e $m$ è il grado del denominatore.

1. Se $n < m$ , l'asse x, $y = 0$ , è l'asintoto orizzontale.

2. Se $n = m$ , l'asintoto orizzontale è la linea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Se $n > m$ , non esiste alcun asintoto orizzontale (è presente un asintoto obliquo).

Passaggio 6

Trova $n$ e $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Passaggio 7

Poiché $n > m$ , non c'è nessun l'asintoto orizzontale.

Nessun asintoto orizzontale

Passaggio 8

Trova l'asintoto obliquo usando la divisione di polinomi.

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Passaggio 8.1

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 8.1.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3} - 2 x^{2} - 8 x$ .

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Passaggio 8.1.1.1.1

Scomponi $x$ da $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.1.2

Scomponi $x$ da $- 2 x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) - 8 x}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.1.3

Scomponi $x$ da $- 8 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2} + x (- 2 x) + x \cdot - 8}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.1.4

Scomponi $x$ da $x \cdot x^{2} + x (- 2 x)$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.1.5

Scomponi $x$ da $x (x^{2} - 2 x) + x \cdot - 8$ .

$\frac{x (x^{2} - 2 x - 8)}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.1.2

Scomponi $x^{2} - 2 x - 8$ usando il metodo AC.

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Passaggio 8.1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 8$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 4, 2$

Passaggio 8.1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x ((x - 4) (x + 2))}{x^{2} - 9}$

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.1.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.1.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{x^{2} - 3^{2}}$

Passaggio 8.1.2.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{x (x - 4) (x + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2

Espandi $x (x - 4) (x + 2)$ .

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Passaggio 8.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(x \cdot x + x \cdot - 4) (x + 2)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x (x + 2) + x \cdot (- 4 (x + 2))}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 (x + 2))}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot x \cdot 2 + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.5

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + x \cdot (2 x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.6

Riordina $x$ e $2$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) + x \cdot (- 4 x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.7

Riordina $x$ e $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) + x \cdot - 4 \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.8

Riordina $x$ e $- 4$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot x \cdot 2}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.9

Sposta $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.10

Moltiplica $2$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 \cdot (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.11

Moltiplica $- 4$ per $x$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.12

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.13

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x \cdot x \cdot x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.14

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{1 + 1} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.15

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.16

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{2} x + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.17

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2 + 1} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.18

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x \cdot x - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.19

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.20

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 (x \cdot x) - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.21

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + 2 x^{1 + 1} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.22

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x \cdot x - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.23

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.24

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 (x \cdot x) - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.25

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{1 + 1} - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.26

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 4 \cdot (2 x)}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.27

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - 4 x^{2} - 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.2.28

Sottrai $4 x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{(x + 3) (x - 3)}$

Passaggio 8.3

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ .

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Passaggio 8.3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

Passaggio 8.3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

Passaggio 8.3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.4

Riordina $x$ e $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.7

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.8

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

Passaggio 8.3.9

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

Passaggio 8.3.10

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} + 0 - 9}$

Passaggio 8.3.11

Sottrai $9$ da $0$ .

$\frac{x^{3} - 2 x^{2} - 8 x}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.4

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Passaggio 8.5

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{3}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

Passaggio 8.6

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

Passaggio 8.7

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{3} + 0 - 9 x$

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$

Passaggio 8.8

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$2 x^{2}$

$8 x$

$0$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$2 x^{2}$

$x$

Passaggio 8.9

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

						$x$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Passaggio 8.10

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 2 x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x^{2}$ .

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$

Passaggio 8.11

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							-	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$18$

Passaggio 8.12

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 2 x^{2} + 0 + 18$

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$

Passaggio 8.13

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

						$x$	-	$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	-	$9$		$x^{3}$	-	$2 x^{2}$	-	$8 x$	+	$0$
					-	$x^{3}$	-	$0$	+	$9 x$
							-	$2 x^{2}$	+	$x$	+	$0$
							+	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$18$
									+	$x$	-	$18$

Passaggio 8.14

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$x - 2 + \frac{x - 18}{x^{2} - 9}$

Passaggio 8.15

L'asintoto obliquo è la porzione polinomiale del risultato della divisione in colonna.

$y = x - 2$

Passaggio 9

Questo è l'insieme di tutti gli asintoti.

Asintoti verticali: $x = - 3, 3$

Nessun asintoto orizzontale

Asintoti obliqui: $y = x - 2$

Passaggio 10