Precalcolo Esempi

$\log_{4} (x - 4) + 2 \log_{4} (x + 4) - \log_{4} (x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \log_{4} (x + 4) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Semplifica $2 \log_{4} (x + 4)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{3} + 2 x^{2} - 16 x - 32})$

Passaggio 2.2

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.2.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 2.2.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x^{3} + 2 x^{2}) - 16 x - 32})$

Passaggio 2.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{x^{2} (x + 2) - 16 (x + 2)})$

Passaggio 2.2.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $x + 2$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 16)})$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x^{2} - 4^{2})})$

Passaggio 2.2.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 4$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Passaggio 2.3

Elimina il fattore comune di $x - 4$ .

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Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{x - 4}{(x + 2) (x + 4) (x - 4)})$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2}) + \log_{4} (\frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ({(x + 4)}^{2} \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Passaggio 4

Elimina il fattore comune di $x + 4$ .

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Passaggio 4.1

Scomponi $x + 4$ da ${(x + 4)}^{2}$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 2) (x + 4)})$

Passaggio 4.2

Scomponi $x + 4$ da $(x + 2) (x + 4)$ .

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Passaggio 4.3

Elimina il fattore comune.

$\log_{4} ((x + 4) (x + 4) \frac{1}{(x + 4) (x + 2)})$

Passaggio 4.4

Riscrivi l'espressione.

$\log_{4} ((x + 4) \frac{1}{x + 2})$

Passaggio 5

Moltiplica $x + 4$ per $\frac{1}{x + 2}$ .

$\log_{4} (\frac{x + 4}{x + 2})$