Precalcolo Esempi

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} = 10$

Passaggio 1

Moltiplica ogni lato per $2$ .

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Passaggio 2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{e^{x} + 100 e^{- x}}{2} \cdot 2 = 10 \cdot 2$

Passaggio 2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{x} + 100 e^{- x} = 10 \cdot 2$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Moltiplica $10$ per $2$ .

$e^{x} + 100 e^{- x} = 20$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi $e^{- x}$ come un elevamento a potenza.

$e^{x} + 100 {(e^{x})}^{- 1} = 20$

Passaggio 3.2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u + 100 u^{- 1} = 20$

Passaggio 3.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + 100 (\frac{1}{u}) = 20$

Passaggio 3.3.2

$100$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{100}{u} = 20$

Passaggio 3.4

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.4.1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 3.4.1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1$

Passaggio 3.4.1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u + \frac{100}{u} = 20$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 3.4.2.1

Moltiplica ogni termine in $u + \frac{100}{u} = 20$ per $u$ .

$u \cdot u + \frac{100}{u} u = 20 u$

Passaggio 3.4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Passaggio 3.4.2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + \frac{100}{u} u = 20 u$

Passaggio 3.4.2.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} + 100 = 20 u$

Passaggio 3.4.3

Risolvi l'equazione.

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Passaggio 3.4.3.1

Sottrai $20 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 100 - 20 u = 0$

Passaggio 3.4.3.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 3.4.3.2.1

Rimetti in ordine i termini.

$u^{2} - 20 u + 100 = 0$

Passaggio 3.4.3.2.2

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$u^{2} - 20 u + 10^{2} = 0$

Passaggio 3.4.3.2.3

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$20 u = 2 \cdot u \cdot 10$

Passaggio 3.4.3.2.4

Riscrivi il polinomio.

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 10 + 10^{2} = 0$

Passaggio 3.4.3.2.5

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 10$ .

${(u - 10)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4.3.3

Poni $u - 10$ uguale a $0$ .

$u - 10 = 0$

Passaggio 3.4.3.4

Somma $10$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 10$

Passaggio 3.5

Sostituisci $10$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$10 = e^{x}$

Passaggio 3.6

Risolvi $10 = e^{x}$ .

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Passaggio 3.6.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 10$ .

$e^{x} = 10$

Passaggio 3.6.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (10)$

Passaggio 3.6.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 3.6.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (10)$

Passaggio 3.6.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (10)$

Passaggio 3.6.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (10)$

Passaggio 4

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (10)$

Forma decimale:

$x = 2.30258509 \dots$