Precalcolo Esempi

$y = \frac{2 x}{x - 3}$

Passaggio 1

Scambia le variabili.

$x = \frac{2 y}{y - 3}$

Passaggio 2

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Moltiplica l'equazione per $y - 3$ .

$(y - 3) (x) = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$y x - 3 x = (\frac{2 y}{y - 3}) (y - 3)$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Elimina il fattore comune di $y - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$y x - 3 x = \frac{2 y}{y - 3} (y - 3)$

Passaggio 2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$y x - 3 x = 2 y$

Passaggio 2.4

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sottrai $2 y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 3 x - 2 y = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $3 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$y x - 2 y = 3 x$

Passaggio 2.4.3

Scomponi $y$ da $y x - 2 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Scomponi $y$ da $y x$ .

$y (x) - 2 y = 3 x$

Passaggio 2.4.3.2

Scomponi $y$ da $- 2 y$ .

$y (x) + y \cdot - 2 = 3 x$

Passaggio 2.4.3.3

Scomponi $y$ da $y (x) + y \cdot - 2$ .

$y (x - 2) = 3 x$

Passaggio 2.4.4

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $y (x - 2) = 3 x$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.1

Dividi per $x - 2$ ciascun termine in $y (x - 2) = 3 x$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Passaggio 2.4.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{3 x}{x - 2}$

Passaggio 2.4.4.2.1.2

Dividi $y$ per $1$ .

$y = \frac{3 x}{x - 2}$

Passaggio 3

Sostituisci $y$ con $f^{- 1} (x)$ per mostrare la risposta finale.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$

Passaggio 4

Verifica se $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Per verificare l'inverso, controlla se $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Passaggio 4.2

Calcola $f^{- 1} (f (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f^{- 1} (f (x))$

Passaggio 4.2.2

Calcola $f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3})$ sostituendo il valore di $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{3 (\frac{2 x}{x - 3})}{(\frac{2 x}{x - 3}) - 2}$

Passaggio 4.2.3

$3$ e $\frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} - 2 \cdot \frac{x - 3}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.2

$- 2$ e $\frac{x - 3}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x}{x - 3} + \frac{- 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4

Riscrivi $\frac{2 x - 2 (x - 3)}{x - 3}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.1

Scomponi $2$ da $2 x - 2 (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.4.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) - 2 (x - 3)}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4.1.2

Scomponi $2$ da $- 2 (x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x) + 2 (- (x - 3))}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (- (x - 3))$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - (x - 3))}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (x - x + 3)}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 (0 + 3)}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.4.5

Somma $0$ e $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{2 \cdot 3}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.4.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{3 (2 x)}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{\frac{6 x}{x - 3}}{\frac{6}{x - 3}}$

Passaggio 4.2.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Passaggio 4.2.7

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.7.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 (x)}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Passaggio 4.2.7.2

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{6 x}{x - 3} \cdot \frac{x - 3}{6}$

Passaggio 4.2.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 4.2.8

Elimina il fattore comune di $x - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.8.1

Elimina il fattore comune.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = \frac{x}{x - 3} \cdot (x - 3)$

Passaggio 4.2.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f^{- 1} (\frac{2 x}{x - 3}) = x$

Passaggio 4.3

Calcola $f (f^{- 1} (x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Imposta la funzione composita per il risultato.

$f (f^{- 1} (x))$

Passaggio 4.3.2

Calcola $f (\frac{3 x}{x - 2})$ sostituendo il valore di $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{2 (\frac{3 x}{x - 2})}{(\frac{3 x}{x - 2}) - 3}$

Passaggio 4.3.3

$2$ e $\frac{3 x}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3}$

Passaggio 4.3.4

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.1

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} - 3 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.2

$- 3$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x}{x - 2} + \frac{- 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4

Riscrivi $\frac{3 x - 3 (x - 2)}{x - 2}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.1

Scomponi $3$ da $3 x - 3 (x - 2)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.4.4.1.1

Scomponi $3$ da $3 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) - 3 (x - 2)}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 (x - 2)$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x) + 3 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4.1.3

Scomponi $3$ da $3 (x) + 3 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4.3

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4.4

Sottrai $x$ da $x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 (0 + 2)}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.4.5

Somma $0$ e $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{3 \cdot 2}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.4.5

Moltiplica $3$ per $2$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{2 (3 x)}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.5

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{\frac{6 x}{x - 2}}{\frac{6}{x - 2}}$

Passaggio 4.3.6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.7.1

Scomponi $6$ da $6 x$ .

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Passaggio 4.3.7.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{6 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{6}$

Passaggio 4.3.7.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 4.3.8

Elimina il fattore comune di $x - 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.8.1

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Passaggio 4.3.8.2

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{3 x}{x - 2}) = x$

Passaggio 4.4

Poiché $f^{- 1} (f (x)) = x$ e $f (f^{- 1} (x)) = x$ , allora $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$ è l'inverso di $f (x) = \frac{2 x}{x - 3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{x - 2}$