Precalcolo Esempi

$\log (x - 2) + \log (x + 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((x - 2) (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Espandi $(x - 2) (x + 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x (x + 2) - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.2

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Passaggio 2.2.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot 2$ e $- 2 x$ .

$\log (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.2.2

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\log (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.2.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\log (x \cdot x - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.3.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (x^{2} - 2 \cdot 2) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\log (x^{2} - 4) - 0.5 \log (x^{2} + 4)$

Passaggio 2.4

Semplifica $- 0.5 \log (x^{2} + 4)$ spostando $0.5$ all'interno del logaritmo.

$\log (x^{2} - 4) - \log ({(x^{2} + 4)}^{0.5})$

Passaggio 3

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log (\frac{x^{2} - 4}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Passaggio 4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\log (\frac{x^{2} - 2^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 2$ .

$\log (\frac{(x + 2) (x - 2)}{{(x^{2} + 4)}^{0.5}})$