Precalcolo Esempi

$\frac{- 3 x^{2} + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi la frazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2} + 24 x + 21$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 24 x + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Passaggio 1.1.1.2

Scomponi $3$ da $24 x$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 21}{x^{2} - 8 x + 7}$

Passaggio 1.1.1.3

Scomponi $3$ da $21$ .

$\frac{3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Passaggio 1.1.1.4

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2}) + 3 (8 x)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Passaggio 1.1.1.5

Scomponi $3$ da $3 (- x^{2} + 8 x) + 3 (7)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{x^{2} - 8 x + 7}$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $x^{2} - 8 x + 7$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $7$ e la cui somma è $- 8$ .

$- 7, - 1$

Passaggio 1.1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7)}{(x - 7) (x - 1)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x - 7}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x - 7) (x - 1)$ .

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 7) (x - 1)}{(x - 7) (x - 1)} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- x^{2} + 8 x + 7) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $3 (- x^{2} + 8 x + 7)$ per $1$ .

$3 (- x^{2} + 8 x + 7) = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.7

Applica la proprietà distributiva.

$3 (- x^{2}) + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 (8 x) + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.8.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 3 \cdot 7 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.8.3

Moltiplica $3$ per $7$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{(A) (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1

Elimina il fattore comune di $x - 7$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.1.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = \frac{A (x - 7) (x - 1)}{x - 7} + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9.1.2

Dividi $(A) (x - 1)$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9.2

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9.3

Sposta $- 1$ alla sinistra di $A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9.4

Riscrivi $- 1 A$ come $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9.5

Elimina il fattore comune di $x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.9.5.1

Elimina il fattore comune.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + \frac{(B) (x - 7) (x - 1)}{x - 1}$

Passaggio 1.9.5.2

Dividi $(B) (x - 7)$ per $1$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + (B) (x - 7)$

Passaggio 1.9.6

Applica la proprietà distributiva.

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x + B \cdot - 7$

Passaggio 1.9.7

Sposta $- 7$ alla sinistra di $B$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x - A + B x - 7 B$

Passaggio 1.10

Sposta $- A$ .

$- 3 x^{2} + 24 x + 21 = A x + B x - A - 7 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$24 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$21 = - 1 A - 7 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$24 = A + B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $24 = A + B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 24$ .

$A + B = 24$

$21 = - 1 A - 7 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 1 A - 7 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $24 - B$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $21 = - 1 A - 7 B$ con $24 - B$ .

$21 = - 1 (24 - B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $- 1 (24 - B) - 7 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$21 = - 1 \cdot 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$21 = - 24 - 1 (- B) - 7 B$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1 (- B)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$21 = - 24 + 1 B - 7 B$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3.2

Moltiplica $B$ per $1$ .

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 + B - 7 B$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Sottrai $7 B$ da $B$ .

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

$21 = - 24 - 6 B$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $21 = - 24 - 6 B$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $- 24 - 6 B = 21$ .

$- 24 - 6 B = 21$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Somma $24$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 6 B = 21 + 24$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $21$ e $24$ .

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

$- 6 B = 45$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = 45$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 6$ ciascun termine in $- 6 B = 45$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{45}{- 6}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1

Elimina il fattore comune di $45$ e $- 6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1.1

Scomponi $3$ da $45$ .

$B = \frac{3 (15)}{- 6}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.3.3.1.2.1

Scomponi $3$ da $- 6$ .

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$B = \frac{3 \cdot 15}{3 \cdot - 2}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

$B = \frac{15}{- 2}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.3.3.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- \frac{15}{2}$ in ogni equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 24 - B$ con $- \frac{15}{2}$ .

$A = 24 - (- \frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $24 - (- \frac{15}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- (- \frac{15}{2})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$A = 24 + 1 (\frac{15}{2})$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.1.2

Moltiplica $\frac{15}{2}$ per $1$ .

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = 24 + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.2

Per scrivere $24$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$A = 24 \cdot \frac{2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.3

$24$ e $\frac{2}{2}$ .

$A = \frac{24 \cdot 2}{2} + \frac{15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$A = \frac{24 \cdot 2 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1.5.1

Moltiplica $24$ per $2$ .

$A = \frac{48 + 15}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.4.2.1.5.2

Somma $48$ e $15$ .

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

$A = \frac{63}{2}$

$B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = \frac{63}{2}, B = - \frac{15}{2}$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x - 7} + \frac{B}{x - 1}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{\frac{63}{2}}{x - 7} + \frac{- \frac{15}{2}}{x - 1}$