Precalcolo Esempi

$\ln (\frac{x}{x - 10}) + \ln (\frac{x + 10}{x}) - \ln (x^{2} - 100)$

Passaggio 1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (\frac{x}{x - 10} \cdot \frac{x + 10}{x}) - \ln (x^{2} - 100)$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{x}{x - 10} \cdot \frac{x + 10}{x}}{x^{2} - 100})$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x}{x - 10}$ per $\frac{x + 10}{x}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{x^{2} - 100})$

Passaggio 4

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 4.1

Riscrivi $100$ come $10^{2}$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{x^{2} - 10^{2}})$

Passaggio 4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 10$ .

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{(x + 10) (x - 10)})$

Passaggio 5

Riduci l'espressione $\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}$ eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{\frac{x (x + 10)}{(x - 10) x}}{(x + 10) (x - 10)})$

Passaggio 5.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{\frac{x + 10}{x - 10}}{(x + 10) (x - 10)})$

Passaggio 6

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\ln (\frac{x + 10}{x - 10} \cdot \frac{1}{(x + 10) (x - 10)})$

Passaggio 7

Elimina il fattore comune di $x + 10$ .

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Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune.

$\ln (\frac{x + 10}{x - 10} \cdot \frac{1}{(x + 10) (x - 10)})$

Passaggio 7.2

Riscrivi l'espressione.

$\ln (\frac{1}{x - 10} \cdot \frac{1}{x - 10})$

Passaggio 8

Moltiplica $\frac{1}{x - 10}$ per $\frac{1}{x - 10}$ .

$\ln (\frac{1}{(x - 10) (x - 10)})$

Passaggio 9

Eleva $x - 10$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{1} (x - 10)})$

Passaggio 10

Eleva $x - 10$ alla potenza di $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{1} {(x - 10)}^{1}})$

Passaggio 11

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{1 + 1}})$

Passaggio 12

Somma $1$ e $1$ .

$\ln (\frac{1}{{(x - 10)}^{2}})$