Precalcolo Esempi

$x - \frac{15}{x} < - 2$

Passaggio 1

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

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Passaggio 1.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, x, 1$

Passaggio 1.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$x$

Passaggio 2

Moltiplica per $x$ ciascun termine in $x - \frac{15}{x} < - 2$ per eliminare le frazioni.

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Passaggio 2.1

Moltiplica ogni termine in $x - \frac{15}{x} < - 2$ per $x$ .

$x \cdot x - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} - \frac{15}{x} x < - 2 x$

Passaggio 2.2.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 2.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{15}{x}$ nel numeratore.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Passaggio 2.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$x^{2} + \frac{- 15}{x} x < - 2 x$

Passaggio 2.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x^{2} - 15 < - 2 x$

Passaggio 3

Risolvi la diseguaglianza.

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Passaggio 3.1

Aggiungi $2 x$ a entrambi i lati della diseguaglianza.

$x^{2} - 15 + 2 x < 0$

Passaggio 3.2

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$x^{2} - 15 + 2 x = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi $x^{2} - 15 + 2 x$ usando il metodo AC.

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Passaggio 3.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 15$ e la cui somma è $2$ .

$- 3, 5$

Passaggio 3.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 3) (x + 5) = 0$

Passaggio 3.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.5

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.5.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 3.5.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 3.6

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.6.1

Imposta $x + 5$ uguale a $0$ .

$x + 5 = 0$

Passaggio 3.6.2

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 5$

Passaggio 3.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 3) (x + 5) = 0$ vera.

$x = 3, - 5$

Passaggio 4

Trova il dominio di $x - \frac{15}{x} + 2$ .

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Passaggio 4.1

Imposta il denominatore in $\frac{15}{x}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = 0$

Passaggio 4.2

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$x < - 5$

$- 5 < x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Passaggio 6

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 6.1

Testa un valore sull'intervallo $x < - 5$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $x < - 5$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 8$

Passaggio 6.1.2

Sostituisci $x$ con $- 8$ nella diseguaglianza originale.

$(- 8) - \frac{15}{- 8} < - 2$

Passaggio 6.1.3

Il lato sinistro di $- 6.125$ è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.2

Testa un valore sull'intervallo $- 5 < x < 0$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $- 5 < x < 0$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = - 2$

Passaggio 6.2.2

Sostituisci $x$ con $- 2$ nella diseguaglianza originale.

$(- 2) - \frac{15}{- 2} < - 2$

Passaggio 6.2.3

Il lato sinistro di $5.5$ non è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.3

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 6.3.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$(2) - \frac{15}{2} < - 2$

Passaggio 6.3.3

Il lato sinistro di $- 5.5$ è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 6.4

Testa un valore sull'intervallo $x > 3$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 6.4.1

Scegli un valore sull'intervallo $x > 3$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 6.4.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$(6) - \frac{15}{6} < - 2$

Passaggio 6.4.3

Il lato sinistro di $3.5$ non è minore del lato destro di $- 2$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 6.5

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

$x < - 5$ Vero

$- 5 < x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Vero

$x > 3$ Falso

Passaggio 7

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$x < - 5$ o $0 < x < 3$

Passaggio 8

Converti la diseguaglianza in notazione a intervalli.

$(- \infty, - 5) \cup (0, 3)$

Passaggio 9