Precalcolo Esempi

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5 + 0$

Passaggio 2

Somma $5$ e $0$ .

$4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Passaggio 3

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Semplifica $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1.1

Semplifica $4 \log_{3} (2 x)$ spostando $4$ all'interno del logaritmo.

$\log_{3} ({(2 x)}^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Passaggio 3.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $2 x$ .

$\log_{3} (2^{4} x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Passaggio 3.1.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$\log_{3} (16 x^{4}) + 8 \log_{3} (x) = 5$

Passaggio 3.1.1.4

Semplifica $8 \log_{3} (x)$ spostando $8$ all'interno del logaritmo.

$\log_{3} (16 x^{4}) + \log_{3} (x^{8}) = 5$

Passaggio 3.1.2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (16 x^{4} x^{8}) = 5$

Passaggio 3.1.3

Moltiplica $x^{4}$ per $x^{8}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.3.1

Sposta $x^{8}$ .

$\log_{3} (16 (x^{8} x^{4})) = 5$

Passaggio 3.1.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\log_{3} (16 x^{8 + 4}) = 5$

Passaggio 3.1.3.3

Somma $8$ e $4$ .

$\log_{3} (16 x^{12}) = 5$

Passaggio 4

Riscrivi $\log_{3} (16 x^{12}) = 5$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{5} = 16 x^{12}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $16 x^{12} = 3^{5}$ .

$16 x^{12} = 3^{5}$

Passaggio 5.2

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 x^{12} = 3^{5}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Dividi per $16$ ciascun termine in $16 x^{12} = 3^{5}$ .

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{16 x^{12}}{16} = \frac{3^{5}}{16}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x^{12}$ per $1$ .

$x^{12} = \frac{3^{5}}{16}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Eleva $3$ alla potenza di $5$ .

$x^{12} = \frac{243}{16}$

Passaggio 5.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$

Passaggio 5.4

Semplifica $\pm \sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $\sqrt[12]{\frac{243}{16}}$ come $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{16}}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Riscrivi $16$ come $2^{4}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[12]{2^{4}}}$

Passaggio 5.4.2.2

Riscrivi $\sqrt[12]{2^{4}}$ come $\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{2^{4}}}}$

Passaggio 5.4.2.3

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$

Passaggio 5.4.3

Moltiplica $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 5.4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt[12]{243}}{\sqrt[3]{2}}$ per $\frac{{\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{\sqrt[3]{2} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 5.4.4.2

Eleva $\sqrt[3]{2}$ alla potenza di $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1} {\sqrt[3]{2}}^{2}}$

Passaggio 5.4.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{1 + 2}}$

Passaggio 5.4.4.4

Somma $1$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{\sqrt[3]{2}}^{3}}$

Passaggio 5.4.4.5

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{3}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{2}$ come $2^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{{(2^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Passaggio 5.4.4.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Passaggio 5.4.4.5.3

$\frac{1}{3}$ e $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.4.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{\frac{3}{3}}}$

Passaggio 5.4.4.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2^{1}}$

Passaggio 5.4.4.5.5

Calcola l'esponente.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} {\sqrt[3]{2}}^{2}}{2}$

Passaggio 5.4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.4.5.1

Riscrivi ${\sqrt[3]{2}}^{2}$ come $\sqrt[3]{2^{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{2^{2}}}{2}$

Passaggio 5.4.5.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[3]{4}}{2}$

Passaggio 5.4.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.1

Riscrivi l'espressone usando l'indice minimo comune di $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.6.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{4}$ come $4^{\frac{1}{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{2}$

Passaggio 5.4.6.1.2

Riscrivi $4^{\frac{1}{3}}$ come $4^{\frac{4}{12}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \cdot 4^{\frac{4}{12}}}{2}$

Passaggio 5.4.6.1.3

Riscrivi $4^{\frac{4}{12}}$ come $\sqrt[12]{4^{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243} \sqrt[12]{4^{4}}}{2}$

Passaggio 5.4.6.2

Combina usando la regola del prodotto per i radicali.

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 4^{4}}}{2}$

Passaggio 5.4.6.3

Eleva $4$ alla potenza di $4$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{243 \cdot 256}}{2}$

Passaggio 5.4.7

Moltiplica $243$ per $256$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Passaggio 5.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Passaggio 5.5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Passaggio 5.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}, - \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Passaggio 6

Escludi le soluzioni che non rendono $4 \log_{3} (2 x) + 8 \log_{3} (x) - 5 = 0$ vera.

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \frac{\sqrt[12]{62208}}{2}$

Forma decimale:

$x = 1.25446107 \dots$