Precalcolo Esempi

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$

Passaggio 2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.1

Semplifica $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1)$ .

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Passaggio 2.1.1

Semplifica $- 2 \log_{3} (x - 1)$ spostando $2$ all'interno del logaritmo.

$\log_{3} (x + 1) - \log_{3} ({(x - 1)}^{2}) = 1$

Passaggio 2.1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$

Passaggio 3

Riscrivi $\log_{3} (\frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}) = 1$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Passaggio 4

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$x + 1 = 3 ({(x - 1)}^{2})$

Passaggio 5

Semplifica $3 ({(x - 1)}^{2})$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi ${(x - 1)}^{2}$ come $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = 3 ((x - 1) (x - 1))$

Passaggio 5.2

Espandi $(x - 1) (x - 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = 3 (x (x - 1) - 1 (x - 1))$

Passaggio 5.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1))$

Passaggio 5.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 5.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 5.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 5.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 5.3.1.2

Sposta $- 1$ alla sinistra di $x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 5.3.1.3

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 5.3.1.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1)$

Passaggio 5.3.1.5

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - x - x + 1)$

Passaggio 5.3.2

Sottrai $x$ da $- x$ .

$x + 1 = 3 (x^{2} - 2 x + 1)$

Passaggio 5.4

Applica la proprietà distributiva.

$x + 1 = 3 x^{2} + 3 (- 2 x) + 3 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3 \cdot 1$

Passaggio 5.5.2

Moltiplica $3$ per $1$ .

$x + 1 = 3 x^{2} - 6 x + 3$

Passaggio 6

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $3 x^{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x + 1 - 3 x^{2} = - 6 x + 3$

Passaggio 6.2

Somma $6 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x + 1 - 3 x^{2} + 6 x = 3$

Passaggio 6.3

Somma $x$ e $6 x$ .

$7 x + 1 - 3 x^{2} = 3$

Passaggio 7

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x - 3 x^{2} = 3 - 1$

Passaggio 7.2

Sottrai $1$ da $3$ .

$7 x - 3 x^{2} = 2$

Passaggio 8

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$7 x - 3 x^{2} - 2 = 0$

Passaggio 9

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 9.1

Scomponi $- 1$ da $7 x - 3 x^{2} - 2$ .

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Passaggio 9.1.1

Riordina $7 x$ e $- 3 x^{2}$ .

$- 3 x^{2} + 7 x - 2 = 0$

Passaggio 9.1.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$- (3 x^{2}) + 7 x - 2 = 0$

Passaggio 9.1.3

Scomponi $- 1$ da $7 x$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 2 = 0$

Passaggio 9.1.4

Riscrivi $- 2$ come $- 1 (2)$ .

$- (3 x^{2}) - (- 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 9.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - (- 7 x)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x) - 1 \cdot 2 = 0$

Passaggio 9.1.6

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2} - 7 x) - 1 (2)$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Passaggio 9.2

Scomponi.

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Passaggio 9.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 9.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 3 \cdot 2 = 6$ e la cui somma è $b = - 7$ .

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Passaggio 9.2.1.1.1

Scomponi $- 7$ da $- 7 x$ .

$- (3 x^{2} - 7 x + 2) = 0$

Passaggio 9.2.1.1.2

Riscrivi $- 7$ come $- 1$ più $- 6$ .

$- (3 x^{2} + (- 1 - 6) x + 2) = 0$

Passaggio 9.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x^{2} - 1 x - 6 x + 2) = 0$

Passaggio 9.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 9.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- ((3 x^{2} - 1 x) - 6 x + 2) = 0$

Passaggio 9.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (x (3 x - 1) - 2 (3 x - 1)) = 0$

Passaggio 9.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $3 x - 1$ .

$- ((3 x - 1) (x - 2)) = 0$

Passaggio 9.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (3 x - 1) (x - 2) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 11

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $3 x - 1$ uguale a $0$ .

$3 x - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $3 x - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3 x = 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ e semplifica.

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Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = 1$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{3}$

Passaggio 12

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 12.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (3 x - 1) (x - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{1}{3}, 2$

Passaggio 14

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{3} (x + 1) - 2 \log_{3} (x - 1) = 1$ vera.

$x = 2$