Precalcolo Esempi

$\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 10) (x - 3)) - \log_{2} (x) = 2$

Passaggio 1.2

Utilizza la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log_{2} (\frac{(x - 10) (x - 3)}{x}) = 2$ nella forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b$ $\neq$ $1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{2} = \frac{(x - 10) (x - 3)}{x}$

Passaggio 3

Esegui la moltiplicazione incrociata per rimuovere la frazione.

$(x - 10) (x - 3) = 2^{2} (x)$

Passaggio 4

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$(x - 10) (x - 3) = 4 x$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $4 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$(x - 10) (x - 3) - 4 x = 0$

Passaggio 5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Espandi $(x - 10) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 5.2.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 3) - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 (x - 3) - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 3 - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.2.1.2

Sposta $- 3$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 3 \cdot x - 10 x - 10 \cdot - 3 - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.2.1.3

Moltiplica $- 10$ per $- 3$ .

$x^{2} - 3 x - 10 x + 30 - 4 x = 0$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $10 x$ da $- 3 x$ .

$x^{2} - 13 x + 30 - 4 x = 0$

Passaggio 5.3

Sottrai $4 x$ da $- 13 x$ .

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

Passaggio 6

Scomponi $x^{2} - 17 x + 30$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $30$ e la cui somma è $- 17$ .

$- 15, - 2$

Passaggio 6.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 15) (x - 2) = 0$

Passaggio 7

Semplifica $(x - 15) (x - 2)$ .

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Passaggio 7.1

Espandi $(x - 15) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$x (x - 2) - 15 (x - 2) = 0$

Passaggio 7.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 (x - 2) = 0$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.2

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 2 - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.2.1.2

Sposta $- 2$ alla sinistra di $x$ .

$x^{2} - 2 \cdot x - 15 x - 15 \cdot - 2 = 0$

Passaggio 7.2.1.3

Moltiplica $- 15$ per $- 2$ .

$x^{2} - 2 x - 15 x + 30 = 0$

Passaggio 7.2.2

Sottrai $15 x$ da $- 2 x$ .

$x^{2} - 17 x + 30 = 0$

Passaggio 8

Scomponi $x^{2} - 17 x + 30$ usando il metodo AC.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $30$ e la cui somma è $- 17$ .

$- 15, - 2$

Passaggio 8.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 15) (x - 2) = 0$

Passaggio 9

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 15 = 0$

$x - 2 = 0$

Passaggio 10

Imposta $x - 15$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $x - 15$ uguale a $0$ .

$x - 15 = 0$

Passaggio 10.2

Somma $15$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 15$

Passaggio 11

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $x - 2$ uguale a $0$ .

$x - 2 = 0$

Passaggio 11.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 2$

Passaggio 12

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 15) (x - 2) = 0$ vera.

$x = 15, 2$

Passaggio 13

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{2} (x - 10) + \log_{2} (x - 3) - \log_{2} (x) = 2$ vera.

$x = 15$