Precalcolo Esempi

$\log (2 x + 4) + \log (x - 2) = 1$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((2 x + 4) (x - 2)) = 1$

Passaggio 1.2

Espandi $(2 x + 4) (x - 2)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log (2 x (x - 2) + 4 (x - 2)) = 1$

Passaggio 1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 (x - 2)) = 1$

Passaggio 1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 1.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.3.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1.1.1

Sposta $x$ .

$\log (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.2

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$\log (2 x^{2} - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 2) = 1$

Passaggio 1.3.1.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\log (2 x^{2} - 4 x + 4 x - 8) = 1$

Passaggio 1.3.2

Somma $- 4 x$ e $4 x$ .

$\log (2 x^{2} + 0 - 8) = 1$

Passaggio 1.3.3

Somma $2 x^{2}$ e $0$ .

$\log (2 x^{2} - 8) = 1$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (2 x^{2} - 8) = 1$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 2 x^{2} - 8$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $2 x^{2} - 8 = 10^{1}$ .

$2 x^{2} - 8 = 10$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.2.1

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} = 10 + 8$

Passaggio 3.2.2

Somma $10$ e $8$ .

$2 x^{2} = 18$

Passaggio 3.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 18$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x^{2} = 18$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x^{2}}{2} = \frac{18}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{18}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi $18$ per $2$ .

$x^{2} = 9$

Passaggio 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Passaggio 3.5

Semplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Passaggio 3.5.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Passaggio 3.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 3$

Passaggio 3.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.6.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 3$

Passaggio 3.6.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 3$

Passaggio 3.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 3, - 3$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (2 x + 4) + \log (x - 2) = 1$ vera.

$x = 3$