Precalcolo Esempi

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y - 60 = 0$

Passaggio 1

Somma $60$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$

Passaggio 2

Completa il quadrato per $4 x^{2} - 2 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 2$

$c = 0$

Passaggio 2.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 2.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 2}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 (4)}$

Passaggio 2.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4}$

Passaggio 2.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 2.3.2.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$d = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{4}{16}$

Passaggio 2.4.2.1.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $16$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.3.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$e = 0 - \frac{4 (1)}{16}$

Passaggio 2.4.2.1.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1.3.2.1

Scomponi $4$ da $16$ .

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$e = 0 - \frac{4 \cdot 1}{4 \cdot 4}$

Passaggio 2.4.2.1.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e = 0 - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.4.2.2

Sottrai $\frac{1}{4}$ da $0$ .

$e = - \frac{1}{4}$

Passaggio 2.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$

Passaggio 3

Sostituisci $4 x^{2} - 2 x$ con $4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4}$ nell'equazione $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} - \frac{1}{4} + 3 y^{2} + 5 y = 60$

Passaggio 4

Sposta $- \frac{1}{4}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{1}{4}$ a entrambi i lati.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 y^{2} + 5 y = 60 + \frac{1}{4}$

Passaggio 5

Completa il quadrato per $3 y^{2} + 5 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 3$

$b = 5$

$c = 0$

Passaggio 5.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 5.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{5}{2 \cdot 3}$

Passaggio 5.3.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$d = \frac{5}{6}$

Passaggio 5.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Eleva $5$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{25}{4 \cdot 3}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$e = 0 - \frac{25}{12}$

Passaggio 5.4.2.2

Sottrai $\frac{25}{12}$ da $0$ .

$e = - \frac{25}{12}$

Passaggio 5.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ .

$3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$

Passaggio 6

Sostituisci $3 y^{2} + 5 y$ con $3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12}$ nell'equazione $4 x^{2} + 3 y^{2} - 2 x + 5 y = 60$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} - \frac{25}{12} = 60 + \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Sposta $- \frac{25}{12}$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $\frac{25}{12}$ a entrambi i lati.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = 60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8

Semplifica $60 + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Scrivi $60$ come una frazione con denominatore $1$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $\frac{60}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60}{1} \cdot \frac{12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.1.3

Moltiplica $\frac{60}{1}$ per $\frac{12}{12}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{3}{3} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.1.5

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{4 \cdot 3} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.1.6

Riordina i fattori di $4 \cdot 3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{3 \cdot 4} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.1.7

Moltiplica $3$ per $4$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12}{12} + \frac{3}{12} + \frac{25}{12}$

Passaggio 8.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{60 \cdot 12 + 3 + 25}{12}$

Passaggio 8.3

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Moltiplica $60$ per $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{720 + 3 + 25}{12}$

Passaggio 8.3.2

Somma $720$ e $3$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{723 + 25}{12}$

Passaggio 8.3.3

Somma $723$ e $25$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{748}{12}$

Passaggio 8.4

Elimina il fattore comune di $748$ e $12$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Scomponi $4$ da $748$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 (187)}{12}$

Passaggio 8.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Passaggio 8.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{4 \cdot 187}{4 \cdot 3}$

Passaggio 8.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$4 {(x - \frac{1}{4})}^{2} + 3 {(y + \frac{5}{6})}^{2} = \frac{187}{3}$

Passaggio 9

Dividi per $\frac{187}{3}$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{3}} + \frac{3 {(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{3}} = \frac{\frac{187}{3}}{\frac{187}{3}}$

Passaggio 10

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(x - \frac{1}{4})}^{2}}{\frac{187}{12}} + \frac{{(y + \frac{5}{6})}^{2}}{\frac{187}{9}} = 1$