Precalcolo Esempi

h (x) = - x^{2} - 2 x + 3

$h (x) = - x^{2} - 2 x + 3$

Passaggio 1

Trova le proprietà della parabola data.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Riscrivi l'equazione nella forma del vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Completa il quadrato per

- x^{2} - 2 x + 3

$- x^{2} - 2 x + 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Utilizza la forma

a x^{2} + b x + c

$a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di

a

$a$ ,

b

$b$ e

c

$c$ .

a = - 1

$a = - 1$

b = - 2

$b = - 2$

c = 3

$c = 3$

Passaggio 1.1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

a {(x + d)}^{2} + e

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.1.3

Trova il valore di

d

$d$ usando la formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.1

Sostituisci i valori di

a

$a$ e

b

$b$ nella formula

d = \frac{b}{2 a}

$d = \frac{b}{2 a}$ .

d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{- 2}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di

- 2

$- 2$ e

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.3.2.1.1

Scomponi

2

$2$ da

- 2

$- 2$ .

d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.3.2.1.2

Sposta quello negativo dal denominatore di

\frac{- 1}{- 1}

$\frac{- 1}{- 1}$ .

d = - 1 \cdot - 1

$d = - 1 \cdot - 1$

d = - 1 \cdot - 1

$d = - 1 \cdot - 1$

Passaggio 1.1.1.3.2.2

Riscrivi

- 1 \cdot - 1

$- 1 \cdot - 1$ come

- - 1

$- - 1$ .

d = - - 1

$d = - - 1$

Passaggio 1.1.1.3.2.3

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

d = 1

$d = 1$

Passaggio 1.1.1.4

Trova il valore di

e

$e$ usando la formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.1

Sostituisci i valori di

c

$c$ ,

b

$b$ e

a

$a$ nella formula

e = c - \frac{b^{2}}{4 a}

$e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}

$e = 3 - \frac{{(- 2)}^{2}}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.4.2.1.1

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}

$e = 3 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.2

Moltiplica

4

$4$ per

- 1

$- 1$ .

e = 3 - \frac{4}{- 4}

$e = 3 - \frac{4}{- 4}$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.3

Dividi

4

$4$ per

- 4

$- 4$ .

e = 3 - - 1

$e = 3 - - 1$

Passaggio 1.1.1.4.2.1.4

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

- 1

$- 1$ .

e = 3 + 1

$e = 3 + 1$

e = 3 + 1

$e = 3 + 1$

Passaggio 1.1.1.4.2.2

Somma

3

$3$ e

1

$1$ .

e = 4

$e = 4$

e = 4

$e = 4$

e = 4

$e = 4$

Passaggio 1.1.1.5

Sostituisci i valori di

a

$a$ ,

d

$d$ e

e

$e$ nella forma del vertice di

- {(x + 1)}^{2} + 4

$- {(x + 1)}^{2} + 4$ .

- {(x + 1)}^{2} + 4

$- {(x + 1)}^{2} + 4$

- {(x + 1)}^{2} + 4

$- {(x + 1)}^{2} + 4$

Passaggio 1.1.2

Imposta

y

$y$ uguale al nuovo lato destro.

y = - {(x + 1)}^{2} + 4

$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$

y = - {(x + 1)}^{2} + 4

$y = - {(x + 1)}^{2} + 4$

Passaggio 1.2

Utilizza la forma di vertice,

y = a {(x - h)}^{2} + k

$y = a {(x - h)}^{2} + k$ , per determinare i valori di

a

$a$ ,

h

$h$ e

k

$k$ .

a = - 1

$a = - 1$

h = - 1

$h = - 1$

k = 4

$k = 4$

Passaggio 1.3

Poiché il valore di

a

$a$ è negativo, la parabola si apre in basso.

Si apre in basso

Passaggio 1.4

Trova il vertice

(h, k)

$(h, k)$ .

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Passaggio 1.5

Trova

p

$p$ , la distanza dal vertice al fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Trova la distanza dal vertice a un fuoco della parabola utilizzando la seguente formula.

\frac{1}{4 a}

$\frac{1}{4 a}$

Passaggio 1.5.2

Sostituisci il valore di

a

$a$ nella formula.

\frac{1}{4 \cdot - 1}

$\frac{1}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3

Elimina il fattore comune di

1

$1$ e

- 1

$- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Riscrivi

1

$1$ come

- 1 (- 1)

$- 1 (- 1)$ .

\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot - 1}$

Passaggio 1.5.3.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

- \frac{1}{4}

$- \frac{1}{4}$

Passaggio 1.6

Trova il fuoco.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.6.1

È possibile trovare il fuoco di una parabola sommando

p

$p$ alla coordinata y

k

$k$ se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

(h, k + p)

$(h, k + p)$

Passaggio 1.6.2

Sostituisci i valori noti di

h

$h$ ,

p

$p$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Passaggio 1.7

Individua l'asse di simmetria trovando la linea che passa per il vertice e il fuoco.

x = - 1

$x = - 1$

Passaggio 1.8

Trova la direttrice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.8.1

La direttrice di una parabola è la retta orizzontale trovata sottraendo

p

$p$ dalla coordinata y

k

$k$ del vertice se la parabola è rivolta verso l'alto o il basso.

y = k - p

$y = k - p$

Passaggio 1.8.2

Sostituisci i valori noti di

p

$p$ e

k

$k$ nella formula e semplifica.

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

Passaggio 1.9

Utilizza le proprietà della parabola per analizzare e rappresentare graficamente la parabola.

Direzione: si apre in basso

Vertice:

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Fuoco:

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Asse di simmetria:

x = - 1

$x = - 1$

Direttrice:

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

Direzione: si apre in basso

Vertice:

(- 1, 4)

$(- 1, 4)$

Fuoco:

(- 1, \frac{15}{4})

$(- 1, \frac{15}{4})$

Asse di simmetria:

x = - 1

$x = - 1$

Direttrice:

y = \frac{17}{4}

$y = \frac{17}{4}$

Passaggio 2

Seleziona alcuni valori di

x

$x$ e inseriscili nell'equazione per trovare i corrispondenti valori di

y

$y$ . I valori di

x

$x$ devono essere selezionati attorno al vertice.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci la variabile

x

$x$ con

- 2

$- 2$ nell'espressione.

f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 3

$f (- 2) = - {(- 2)}^{2} - 2 \cdot - 2 + 3$

Passaggio 2.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Eleva

- 2

$- 2$ alla potenza di

2

$2$ .

f (- 2) = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + 3

$f (- 2) = - 1 \cdot 4 - 2 \cdot - 2 + 3$

Passaggio 2.2.1.2

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

4

$4$ .

f (- 2) = - 4 - 2 \cdot - 2 + 3

$f (- 2) = - 4 - 2 \cdot - 2 + 3$

Passaggio 2.2.1.3

Moltiplica

- 2

$- 2$ per

- 2

$- 2$ .

$f (- 2) = - 4 + 4 + 3$

Passaggio 2.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Somma

$- 4$ e

$4$ .

$f (- 2) = 0 + 3$

Passaggio 2.2.2.2

Somma

$0$ e

$3$ .

$f (- 2) = 3$

Passaggio 2.2.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 2.3

Il valore

$y$ con

$x = - 2$ è

$3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.4

Sostituisci la variabile

$x$ con

$- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - {(- 3)}^{2} - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 2.5

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1.1

Eleva

$- 3$ alla potenza di

$2$ .

$f (- 3) = - 1 \cdot 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 2.5.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$9$ .

$f (- 3) = - 9 - 2 \cdot - 3 + 3$

Passaggio 2.5.1.3

Moltiplica

$- 2$ per

$- 3$ .

$f (- 3) = - 9 + 6 + 3$

Passaggio 2.5.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Somma

$- 9$ e

$6$ .

$f (- 3) = - 3 + 3$

Passaggio 2.5.2.2

Somma

$- 3$ e

$3$ .

$f (- 3) = 0$

Passaggio 2.5.3

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.6

Il valore

$y$ con

$x = - 3$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.7

Sostituisci la variabile

$x$ con

$0$ nell'espressione.

$f (0) = - {(0)}^{2} - 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 2.8

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Elevando

$0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene

$0$ .

$f (0) = - 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 2.8.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 3$

Passaggio 2.8.1.3

Moltiplica

$- 2$ per

$0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 3$

Passaggio 2.8.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Somma

$0$ e

$0$ .

$f (0) = 0 + 3$

Passaggio 2.8.2.2

Somma

$0$ e

$3$ .

$f (0) = 3$

Passaggio 2.8.3

La risposta finale è

$3$ .

$3$

Passaggio 2.9

Il valore

$y$ con

$x = 0$ è

$3$ .

$y = 3$

Passaggio 2.10

Sostituisci la variabile

$x$ con

$1$ nell'espressione.

$f (1) = - {(1)}^{2} - 2 \cdot 1 + 3$

Passaggio 2.11

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - 1 \cdot 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Passaggio 2.11.1.2

Moltiplica

$- 1$ per

$1$ .

$f (1) = - 1 - 2 \cdot 1 + 3$

Passaggio 2.11.1.3

Moltiplica

$- 2$ per

$1$ .

$f (1) = - 1 - 2 + 3$

Passaggio 2.11.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.2.1

Sottrai

$2$ da

$- 1$ .

$f (1) = - 3 + 3$

Passaggio 2.11.2.2

Somma

$- 3$ e

$3$ .

$f (1) = 0$

Passaggio 2.11.3

La risposta finale è

$0$ .

$0$

Passaggio 2.12

Il valore

$y$ con

$x = 1$ è

$0$ .

$y = 0$

Passaggio 2.13

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

Passaggio 3

Rappresenta graficamente la parabola usando le sue proprietà e i punti selezionati.

Direzione: si apre in basso

Vertice:

$(- 1, 4)$

Fuoco:

$(- 1, \frac{15}{4})$

Asse di simmetria:

$x = - 1$

Direttrice:

$y = \frac{17}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ - 3 & 0 \\ - 2 & 3 \\ - 1 & 4 \\ 0 & 3 \\ 1 & 0 \end{array}$

Passaggio 4