Precalcolo Esempi

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \frac{1}{32} + \frac{1}{64}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per $\frac{1}{2}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole, $a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica: $r = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci con i valori di $a_{1} = 1$ e $r = \frac{1}{2}$ .

$a_{n} = 1 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Moltiplica ${(\frac{1}{2})}^{n - 1}$ per $1$ .

$a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$a_{n} = \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Passaggio 6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$a_{n} = \frac{1}{2^{n - 1}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi $n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di $r$ e $a_{1}$ .

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare $S_{7}$ .

$S_{7} = 1 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9

Moltiplica $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ per $1$ .

$S_{7} = \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 10

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Moltiplica $\frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2}{2} \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{7} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 10.2

Combina.

$S_{7} = \frac{2 ({(\frac{1}{2})}^{7} - 1)}{2 (\frac{1}{2} - 1)}$

Passaggio 11

Applica la proprietà distributiva.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{2 (\frac{1}{2}) + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 12.2

Riscrivi l'espressione.

$S_{7} = \frac{2 {(\frac{1}{2})}^{7} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2^{7}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $2$ da $2^{7}$ .

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2.2

Elimina il fattore comune.

$S_{7} = \frac{2 (\frac{1^{7}}{2 \cdot 2^{6}}) + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.2.3

Riscrivi l'espressione.

$S_{7} = \frac{\frac{1^{7}}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$S_{7} = \frac{\frac{1}{2^{6}} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.4

Eleva $2$ alla potenza di $6$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + 2 \cdot - 1}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.5

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.6

Per scrivere $- 2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} - 2 \cdot \frac{64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.7

$- 2$ e $\frac{64}{64}$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1}{64} + \frac{- 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 2 \cdot 64}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.9.1

Moltiplica $- 2$ per $64$ .

$S_{7} = \frac{\frac{1 - 128}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.9.2

Sottrai $128$ da $1$ .

$S_{7} = \frac{\frac{- 127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 13.10

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 + 2 \cdot - 1}$

Passaggio 14

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{1 - 2}$

Passaggio 14.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$S_{7} = \frac{- \frac{127}{64}}{- 1}$

Passaggio 15

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$S_{7} = \frac{\frac{127}{64}}{1}$

Passaggio 15.2

Dividi $\frac{127}{64}$ per $1$ .

$S_{7} = \frac{127}{64}$