Precalcolo Esempi

20 + 10 + 5 + \frac{5}{2}

$20 + 10 + 5 + \frac{5}{2}$

Passaggio 1

Questa è una progressione geometrica poiché c'è un rapporto costante tra ogni termine e quello che lo precede. In questo caso, moltiplicando per

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ un termine si ottiene il termine successivo. In altre parole,

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$ .

Progressione geometrica:

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$

Passaggio 2

Questa è la forma di una progressione geometrica.

a_{n} = a_{1} r^{n - 1}

$a_{n} = a_{1} r^{n - 1}$

Passaggio 3

Sostituisci con i valori di

a_{1} = 20

$a_{1} = 20$ e

r = \frac{1}{2}

$r = \frac{1}{2}$ .

a_{n} = 20 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}

$a_{n} = 20 {(\frac{1}{2})}^{n - 1}$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

a_{n} = 20 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}

$a_{n} = 20 \frac{1^{n - 1}}{2^{n - 1}}$

Passaggio 5

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

a_{n} = 20 \frac{1}{2^{n - 1}}

$a_{n} = 20 \frac{1}{2^{n - 1}}$

Passaggio 6

20

$20$ e

\frac{1}{2^{n - 1}}

$\frac{1}{2^{n - 1}}$ .

a_{n} = \frac{20}{2^{n - 1}}

$a_{n} = \frac{20}{2^{n - 1}}$

Passaggio 7

Questa è la formula per trovare la somma dei primi

n

$n$ termini della progressione geometrica. Per calcolarla, trova i valori di

r

$r$ e

a_{1}

$a_{1}$ .

S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}

$S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1}$

Passaggio 8

Sostituisci le variabili con i valori noti per trovare

S_{4}

$S_{4}$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{{(\frac{1}{2})}^{4} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Applica la regola del prodotto a

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1^{4}}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{2^{4}} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.3

Eleva

2

$2$ alla potenza di

4

$4$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.4

Per scrivere

- 1

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{16}{16}

$\frac{16}{16}$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{16} - 1 \cdot \frac{16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.5

- 1

$- 1$ e

\frac{16}{16}

$\frac{16}{16}$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1}{16} + \frac{- 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1 - 1 \cdot 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.7

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.7.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

16

$16$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{1 - 16}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.7.2

Sottrai

16

$16$ da

1

$1$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{- 15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 9.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1}$

Passaggio 10

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Per scrivere

- 1

$- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Passaggio 10.2

- 1

$- 1$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 10.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Passaggio 10.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.1

Moltiplica

- 1

$- 1$ per

2

$2$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 2}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{1 - 2}{2}}$

Passaggio 10.4.2

Sottrai

2

$2$ da

1

$1$ .

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{\frac{- 1}{2}}$

Passaggio 10.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}$

S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{- \frac{15}{16}}{- \frac{1}{2}}$

Passaggio 11

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{\frac{15}{16}}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 12

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

S_{4} = 20 \cdot (\frac{15}{16} \cdot 2)

$S_{4} = 20 \cdot (\frac{15}{16} \cdot 2)$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di

2

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Scomponi

2

$2$ da

16

$16$ .

S_{4} = 20 \cdot (\frac{15}{2 (8)} \cdot 2)

$S_{4} = 20 \cdot (\frac{15}{2 (8)} \cdot 2)$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune.

S_{4} = 20 \cdot (\frac{15}{2 \cdot 8} \cdot 2)

$S_{4} = 20 \cdot (\frac{15}{2 \cdot 8} \cdot 2)$

Passaggio 13.3

Riscrivi l'espressione.

S_{4} = 20 \cdot \frac{15}{8}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{15}{8}$

S_{4} = 20 \cdot \frac{15}{8}

$S_{4} = 20 \cdot \frac{15}{8}$

Passaggio 14

Elimina il fattore comune di

4

$4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Scomponi

4

$4$ da

20

$20$ .

S_{4} = 4 (5) \cdot \frac{15}{8}

$S_{4} = 4 (5) \cdot \frac{15}{8}$

Passaggio 14.2

Scomponi

4

$4$ da

8

$8$ .

S_{4} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{15}{4 \cdot 2}

$S_{4} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{15}{4 \cdot 2}$

Passaggio 14.3

Elimina il fattore comune.

S_{4} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{15}{4 \cdot 2}

$S_{4} = 4 \cdot 5 \cdot \frac{15}{4 \cdot 2}$

Passaggio 14.4

Riscrivi l'espressione.

S_{4} = 5 \cdot \frac{15}{2}

$S_{4} = 5 \cdot \frac{15}{2}$

S_{4} = 5 \cdot \frac{15}{2}

$S_{4} = 5 \cdot \frac{15}{2}$

Passaggio 15

5

$5$ e

\frac{15}{2}

$\frac{15}{2}$ .

S_{4} = \frac{5 \cdot 15}{2}

$S_{4} = \frac{5 \cdot 15}{2}$

Passaggio 16

Moltiplica

5

$5$ per

15

$15$ .

S_{4} = \frac{75}{2}

$S_{4} = \frac{75}{2}$